1. 개요
electric displacement field · 電 氣 變 位 場기존 전기장은 진공에 대해서 정의되었다. 유전체 등의 편극성 물질에서는 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 이 영향을 고려한 새로운 장을 도입하였는데, 해당 장을 전기 변위장이라 한다. 이 문서에서는 '전기 변위장'과 이를 줄인 '변위장'을 혼용하여 작성하였다.
교재에 따라 '전속(電 束) 밀도(Electric Flux Density)'[1], '대체 전기장' 등의 용어를 사용하나, 이 문서에선 한국물리학회에서 정한 용어를 사용하기로 한다.
기호로는 [math( \mathbf{D} )]로 나타내며, 단위는 [math( \mathrm C/\mathrm m^2 )]이다. 또한 전기장 [math(\bf E)]와 매질의 유전율 [math(\epsilon)]에 대하여 [math(\mathbf{D} = \epsilon\mathbf{E})]라는 관계가 성립한다.
2. 상세
2.1. 편극 밀도
위에서 지적했듯, 편극성 물질의 경우 외부 전기장에 의해 분극이 일어나므로 전기 쌍극자가 내부에 모인 것으로 해석할 수 있다. 따라서 조밀한 전하 분포에 대해서 밀도의 개념을 사용했듯, 여기서도 밀도의 개념을 사용하는 것이 편리하다. 따라서 단위 부피당 전기 쌍극자 [math( \mathbf{p} )]를 편극 밀도(Polarization) [math( \mathbf{P} )]라 한다. 즉,[math( \displaystyle \mathbf{p}=\mathbf{P}V )]
가 성립한다. 이것을 일반적인 상황에 대해 쓰면,
[math( \displaystyle \mathbf{p}=\iiint \mathbf{P}(\mathbf{r'})\,dV' )]
가 된다.
여기서 인지해야 할 점은 이러한 편극 밀도를 생각 할 수 있는 것은 거시적인 관점(Macroscopic View)에서 어떠한 계(System)를 바라볼 때라는 것이다. 예를 들면, 고전적인 원자핵 또는 전자 하나하나를 관찰할 때는 이러한 편극을 생각 할 수 없을 것이다.
2.2. 편극성 물질의 전기 퍼텐셜
전기 쌍극자 문서에서 전기 쌍극자가 만드는 전기 퍼텐셜은 아래와 같이 주어짐을 보았다.[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\frac{\mathbf{p}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}} )]
편극 밀도를 도입하면,
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) =\iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r'}}{ \left| \mathbf{r}-\mathbf{r'} \right |^{3}}\,dV' = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \boldsymbol{\cdot} \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}}\,dV' )]
여기서 [math( V )]는 편극성 물질에 해당하는 영역이고, [math( \mathbf{r}-\mathbf{r'} \equiv \boldsymbol{\xi} )]를 이용했다. 이때,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( \frac{1}{\xi} \right) = -\frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}} \qquad \qquad \displaystyle \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) = \frac{\hat{\boldsymbol{\xi} } }{ \xi^{2}} )]
를 고려하자. 프라임은 원천 지점([math( \mathbf{r'} )])을 기준으로 연산을 취한다는 뜻에서 붙였다. 따라서
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \iiint_{V} \frac{\mathbf{P(r')}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right) \,dV' )]
로 쓸 수 있고, 벡터 항등식에서
[math( \displaystyle \mathbf{P(r')} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} ' \left( \frac{1}{\xi} \right)= \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] - \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P(r')} \right] )]
이 성립하므로 위에서 구했던 전기 퍼텐셜은
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \left[ \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \right] \,dV'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P(r')} \right] \,dV' )]
발산 정리를 쓰면,
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \oiint_{S} \frac{\mathbf{P(r')}}{\xi} \boldsymbol{\cdot} \,d \mathbf{a}'-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \frac{1}{\xi} \left[ \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P(r')} \right] \,dV' )]
로 된다. [math( S )]는 편극성 물질을 둘러싸는 폐곡면이다. 이것을 최종적으로 다음과 같은 형태로 밝혀적으면,
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{ \left[ \mathbf{P(r')} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} \right] \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\left[- \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P(r')} \right] \,dV'}{\xi} \right] )]
가 된다.
유의해야 할 것은 [math( \mathbf{\hat{n}} )]은 편극성 물질 표면에 대한 법선 벡터임을 인지하여야 한다는 것이다. 이것은 추후에 논의할 '전기 변위의 경계 조건' 등에서 경계면의 법선 벡터와 헷갈릴 가능성이 높으니 잘 인지하여야 한다.
위 결과에서
[math( \displaystyle \mathbf{P(r')} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} \equiv \sigma_{P}\qquad \qquad- \boldsymbol{\nabla} ' \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P(r')} \equiv \rho_{P} )]
로 정의하고 각각 표면 속박 전하 밀도(Bound surface charge density), 부피 속박 전하 밀도(Bound volumetric charge density)라 한다. 따라서 위 식을 아래와 같이 나타낼 수도 있다.
[math( \displaystyle \Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left[ \oiint_{S} \frac{\sigma_{P} \,da' }{\xi}+ \iiint_{V} \frac{\rho_{P} \,dV'}{\xi} \right] )]
위의 논의는 편극성 물질을 분석할 때, 처음 전기 쌍극자를 생각하여 들어갔고, 그 전기 쌍극자를 전하로 취급할 수 있음을 얻는다. 주의할 것은 여기서 나온 '속박 전하'는 분극에 의해 생성되는 전하임을 인지하여야 하여야 한다. 즉, 대전 등으로 생긴 '자유 전하(Free charge)'와는 성질 또한 다르다.[주의]
이상에서 편극된 물질은 본래 중성이라는 점을 생각하면, 총 속박 전하는 [math( 0 )]이 돼야 한다.
[math( \displaystyle \oiint_{S} \sigma_{P} \,da' + \iiint_{V} \rho_{P} \,dV'=0 )]
2.3. 물질에서의 가우스 법칙
윗 문단에서 편극성 물질에서 편극이 일어났을 경우 속박 전하가 존재한다는 것을 알아내었다. 따라서 편극된 물질에서 가우스 법칙을 적용하면, 엄연히 대전 등으로 생긴 자유 전하뿐만 아니라 이 속박된 전하까지 생각해줘야 하므로 가우스 법칙은 아래와 같이 쓸 수 있다.[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} = {\rho_{f}+\rho_{P} \over \varepsilon_0} )]
[math( \rho_{f} )], [math( \rho_{P} )]는 각각 '부피 자유 전하 밀도', '부피 속박 전하 밀도'이다.
그런데 위 문단에서 [math( \rho_{P} \equiv - \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P} )]이었으므로
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E} =\frac {\rho_{f}}{\varepsilon_0}-\frac{\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{P}}{\varepsilon_{0}} )]
따라서
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \left( \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \right) = {\rho_{f}} )]
형태로 쓸 수 있고, 이상에서 나온
[math( \displaystyle \varepsilon_{0}\mathbf{E} + \mathbf{P} \equiv \mathbf{D} )]
로 정의하고, 이것을 전기 변위장이라 한다.
따라서 물질에서의 가우스 법칙의 미분형과 적분형을 각각 다음과 같이 쓴다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D} = {\rho_{f}} \qquad \qquad \oiint \mathbf{D} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} =\iiint_{V} \rho_{f} \,dV' \equiv Q_{f} )]
3. 변위장의 다른 표현
선형 편극성 물질에 대한 편극 밀도는 다음과 같이 나타내어 진다.[3][math( \displaystyle \mathbf{P} = \varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E} )]
여기서 [math( \chi_e )]는 전기장에 대한 '감수율(Electric Susceptibility)'이다. 따라서 변위장은
[math( \displaystyle \mathbf{D} = (1+\chi_{e})\varepsilon_{0}\mathbf{E} )]
으로 나타낼 수 있고,
[math( \displaystyle 1+\chi_{e} \equiv \kappa )]
로, '유전 상수'로 정의하고, 또다시
[math( \displaystyle \kappa \varepsilon_{0} \equiv \varepsilon )]
으로 그 물질에 대한 유전율로 정의하여, 변위장을
[math( \displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} )]
으로 쓸 수 있다.
유전율에 대한 자세한 내용은 유전율 문서를 참고할 것을 권한다.
4. 변위장의 회전
전기장은 비회전장으로서,[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = 0 )]
가 성립함을 전기장 문서에서 다뤘다. 그렇다면, 변위장 또한 전기장과 유사한 점이 있는데, 과연 회전 또한 같이 [math( 0 )]이 나온다는 생각을 할 수도 있다. 결론부터 말하면, 아니다.
변위장의 회전을 취해보면,
[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{D}=\boldsymbol{\nabla} \times (\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P})=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{P} )]
이고, 일반적으로 [math( \mathbf{P} )]의 회전이 [math( 0 )]이 되지 않기 때문에 변위장은 비회전장이 아님을 알 수 있다. 따라서 어떤 스칼라 함수의 그레이디언트를 취한 값이 변위장으로 환원되지 않기 때문에 변위장의 퍼텐셜은 존재하지 않는다. 더불어서 같은 이유로 변위장은 쿨롱 법칙과 같은 수법 또한 존재하지 않는다.
5. 변위장의 경계 조건
위 그림과 같이 물질이 다른 두 매질 I, II를 고려하자. 전기장 문서에서 '전기장의 경계 조건'을 결과를 가져오면,
[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}- \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}=\frac{ \sigma }{ \varepsilon_{0} } )]
이다. 이때, 경계면의 전하 밀도 [math( \sigma )]는 표면 자유 전하 밀도 [math( \sigma_{f} )] 뿐만 아니라, 표면 속박 전하 밀도 또한 존재한다. 따라서 매질 I, II에서 표면 속박 전하 밀도를 [math( \sigma_{P_{1}} )], [math( \sigma_{P_{2}} )]하면,
[math( \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+\sigma_{P_{1}}+\sigma_{P_{2}} )]
이고, 정의에 따라
[math( \displaystyle \sigma_{P_{1}}=\mathbf{P_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}, \,\,\, \sigma_{P_{2}}=\mathbf{P_{2}} \boldsymbol{\cdot} (-\mathbf{\hat{n}}) )]
이므로
[math( \displaystyle \sigma=\sigma_{f}+ (\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} )]
이상에서
[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}- \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}=\frac{ \sigma_{f} }{ \varepsilon_{0} }+\frac{(\mathbf{P_{1}}-\mathbf{P_{2}}) \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n} } }{\varepsilon_{0}} )]
이것을 다시 쓰면,
[math( \displaystyle \left [ \left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{2}}+\mathbf{P_{2}} \right )-\left ( \varepsilon_{0}\mathbf{E_{1}}+\mathbf{P_{1}} \right ) \right ] \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}=\sigma_{f} )]
결론적으로 아래와 같은 보존장의 경계 조건이 도출되게 된다.
[math( \displaystyle \mathbf{D_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}- \mathbf{D_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}={ \sigma_{f} } )]
주목해야 할 것은, 경계면에 표면 자유 전하 밀도가 존재하지 않으면,
[math( \displaystyle \mathbf{D_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}}= \mathbf{D_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} )]
로, 변위장의 수직 성분은 연속이 됨이 알 수 있다.
또한, 매질 [math( i )]에서 유전율을 [math( \varepsilon_{i} )]라 하고, [math( \mathbf{E}_{i}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi_{i} )]와 [math( \mathbf{D}_{i}=\varepsilon_{i}\mathbf{E}_{i} )]임을 이용하면,
[math( \displaystyle \varepsilon_{1} \frac{\partial \Phi_{1}}{\partial n}-\varepsilon_{2} \frac{\partial \Phi_{2}}{\partial n}=-\sigma_{f} )]
으로도 쓸 수 있다.
또 하나의 경계 조건은, 전기장 자체는 보존장이므로
[math( \displaystyle \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t}}= \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{t}} )]
이 성립한다. [math( \mathbf{\hat{t}} )]은 경계면의 접선 방향의 벡터이다.
6. 변위장과 편미분 방정식
전기 퍼텐셜 문서에서 진공 중의 상황을 다룰 때, 푸아송 방정식을 푸므로써 어떤 정전기학적 상황에 대한 퍼텐셜을 결정할 수 있고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 함으로써 장 또한 결정할 수 있음을 논의했다. 이 문단에서는 구하는 영역에 편극성 물질이 있을 때도 유사한 방법을 적용할 수 있는지 보고자한다.위에서 변위장의 발산이
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{D}=\rho_{f} )]
라고 했다. 이때, 물질이 단순하다면, 전기장과 변위장과의 관계는 [math(\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E})]로 쓸 수 있어,
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\varepsilon \mathbf{E})=\rho_{f} )]
가 된다. 그런데, 전기장과 전기 퍼텐셜은 [math(\mathbf{E}=-\boldsymbol{\nabla} \Phi)]의 관계가 있음에 따라
[math(\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\varepsilon \boldsymbol{\nabla} \Phi)=-\rho_{f} )]
벡터 항등식에 의해
[math(\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f} )]
가 된다. 이때, 편극성 물질의 유전율이 델 연산과 무관하다면, 좌변의 제 2항은 0이 됨에 따라 다음의 푸아송 방정식을 얻는다:
[math(\displaystyle \nabla^{2} \Phi=-\frac{\rho_{f}}{\varepsilon} )]
다만, 편극성 물질의 유전율이 델 연산에 의존한다면, 좌변의 제 2항은 0이라 할 수 없으므로 방정식
[math(\displaystyle \varepsilon \nabla^{2} \Phi+\boldsymbol{\nabla} \varepsilon \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\nabla} \Phi =-\rho_{f} )]
을 풀어야 함에 유의하여야 한다.
따라서 위의 방정식을 풀고, 구한 퍼텐셜에 그레이디언트 연산을 취하면, 장을 결정할 수 있음을 얻는다.
7. 관련 예제
8. 관련 문서
[1]
'Cheng의 전자기학' 교재가 대표적이다.
[주의]
해당 '속박 전하'는 수학적 처리 과정에서 나온 트릭 등으로 생각하면 매우 곤란하다. 속박 전하의 물리적 해석에 관한 내용은 이 문서에서 다루는 것에서 벗어나기 때문에 다루지 않으나, 엄현히 '속박 전하'는 물리적으로 의미가 있는 전하임을 인지해야 한다.
[3]
선형 편극성 물질이 아니라면, [math( \chi_e )]는
스칼라가 아닌,
텐서가 된다.