1. 개요
(spherical) mirror equation구면으로 된 거울에서 물체의 위치, 상의 위치와 거울의 곡률 반경 사이의 관계를 나타내는 식이다.
물체의 위치를 [math(a)], 상의 위치를 [math(b)], 거울의 곡률 반경을 [math(R)]이라 할 때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{2}{R} \end{aligned} )]
이 문서에서는 광학 부호 규약이 사용되었음에 유의한다.
2. 반사의 법칙
빛이 어떤 면을 기준으로 [math(\theta_{i})]의 각으로 입사하여 [math(\theta_{r})]의 각으로 반사했을 때, 다음이 성립한다.[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{i}=\theta_{r} \end{aligned} )]
즉, 입사각과 반사각은 같다.
3. 유도
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그림과 같이 곡률 반경 [math(R>0)]인 구면 거울(오목 거울)을 고려하자. 광축 위의 한 점 [math(\rm A)]는 광축과 구면의 교점으로부터 [math(a)]만큼 떨어져있으며, 이 점에서 방사된 빛은 구면에서 반사되어 광축 위의 한 점 [math(\rm B)]로 향한다. [math(\rm B)]는 광축과 구면의 교점으로부터 [math(b)]만큼 떨어져있다.
삼각형의 두 내각과 한 외각의 관계에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \alpha+\theta &=\psi \\ \theta+\psi &=\beta \end{aligned} )]
이것을 [math(\theta)]에 대하여 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \theta &=\psi-\alpha \\ \theta&=\beta-\psi \end{aligned} )]
다음이 성립함은 자명하다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\psi-\alpha)}=\sin{(\beta-\psi)} \end{aligned} )]
좌변은 삼각함수의 덧셈정리에 의하여
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\psi-\alpha)}=\sin{\psi}\cos{\alpha}-\cos{\psi}\sin{\alpha} \end{aligned} )]
한편, 근축 광선을 고려한다면, [math(\alpha \ll 1)], [math(\psi \ll 1)]이므로 사인은 탄젠트로, 코사인은 1로 근사 가능하다. 따라서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\psi-\alpha)}&\simeq \tan{\psi}-\tan{\alpha} \\ &\simeq \frac{h}{R}-\frac{h}{a} \end{aligned} )]
우변 또한 마찬가지의 방법으로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sin{(\beta-\psi)}&\simeq \tan{\beta}-\tan{\psi} \\ &\simeq \frac{h}{b}-\frac{h}{R} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{h}{R}-\frac{h}{a}=\frac{h}{b}-\frac{h}{R} \end{aligned} )]
정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{R} \end{aligned} )]
이로써 구면 거울 방정식이 유도되었다.
이 거울 방정식은 곡률 반경 [math(R<0)]인 구면 거울(볼록 거울)에서도 성립한다.
4. 거울의 초점
[math(\rm A)]가 무한히 거울에서 떨어지면 광선은 평행 광선으로 생각할 수 있다. 이 평행 광선이 거울에 반사해 광축과 만나는 지점을 거울의 초점으로, 이 지점까지의 거리를 초점 거리 [math(f)]로 정의한다. 이 경우 [math(a \to \infty)]이므로[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{f}=\frac{2}{R} \quad \to \quad f=\frac{R}{2} \end{aligned} )]
이것은 (근축 광선에 대한) 구면 거울의 초점이 곡률 반경의 절반이 되는 지점에 있음을 말해준다.
이 말을 다르게 이야기 하면 광축에서 멀리 떨어진 광선은 해당 초점으로 빛이 모이지 않는데, 이를 구면 수차(spherical aberration)라 한다.[1] 이러한 수차를 해결하려면 비구면 거울[2]을 사용하여야 한다.[3]
위 사실을 이용하면 거울 방정식을
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{a}+\frac{1}{b} =\frac{1}{f} \end{aligned} )]
형태로 쓸 수 있는데, 얇은 렌즈 방정식과 그 형태가 동일하다.
5. 횡배율
물체의 횡배율은 다음과 같이 주어지게 된다.[math(\displaystyle \begin{aligned} M=\frac{b}{a} \end{aligned} )]
이때, [math(|M|>1)]인 경우 확대상이, [math(|M|<1)]인 경우 축소상이 형성된다. 또, [math(M>0)]인 경우 실상, [math(M<0)]인 경우 허상이 형성된다.
6. 구면 거울 분석
위 내용을 종합하여 물체 거리-상 거리 그래프를 그려보면 아래와 같다. (빛은 왼쪽에서 오른쪽으로 입사한다.)|
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오목 거울의 경우 [math(a=f)]일 때 상이 생기지 않는다는 것에 주목한다.
[1]
구면 거울의 경우에는 구면 렌즈와 달리 수차가 존재하지 않는다고 생각할 수 있는데, 그것은 틀린 생각이다.
[2]
대표적으로 포물면 거울이 있다.
[3]
광학 기기는 비구면 광학 소자가 구면 소자에 비해 이러한 이점이 있는데도 구면 소자를 많이 쓰는데, 표면을 비구면으로 연마하는 것이 구면에 비해 까다롭고 비용이 많이 들기 때문이다. 그 예로 카메라 렌즈의 경우에도 비구면 렌즈는 전체 구성 렌즈 중 일부밖에 넣어주지 않는다.