1. 개요
multipole expansion · 多 重 極 展 開다중극 전개란 충분히 국소화된 상태로 분포하는 전하 밀도가 있을 때, 이 전하 밀도를 점전하와 쌍극자, 사중극자, 팔중극자 등으로 근사하여 퍼텐셜 함수를 전개하는 것을 의미한다.
쉽게 말하면, 어떤 공간상에 물체가 있고, 이 물체가 갖고 있는 전자들의 복잡한 분포가 있을 것이다. 여기서 충분히 멀리 떨어져서 이 물질을 바라본다면 전하는 좁은 영역에 분포한다고 말할 수 있을 것이다. 이때 멀리 떨어져 있다는 근사 조건을 활용하여 함수를 우리가 알기 쉬운 점전하 또는 쌍극자 등의 함수로 쓰자는 것이다.
2. 유도
위 그림과 같이 임의의 전하분포 [math(\rho(\bf r'))]을 가정하자. 즉, [math(\bf r')]의 위치에 분포하는 전하밀도를 [math(\bf r)]의 시점에서 관찰하고 있는 상황인 것이다. 그러면 잘 알다시피 [math(\bf r)]에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같을 것이다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Phi({\bf r}) = \frac1{4\pi\varepsilon_0} \iiint_V \frac{\rho({\bf r'})}{|{\bf r-r'}|} \,{\rm d}V' \end{aligned} )] |
2.1. 구면 좌표계에서의 전개
구면좌표계에서 다음과 같은 전개식[1]이 성립한다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Phi({\bf r}) = \frac1{4\pi\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \sum_{m=-l}^l \frac{4\pi}{2l+1} q_l^m \frac{Y_l^m (\theta,\phi)}{r^{l+1}} \end{aligned} )] |
전개식의 유도는 다음과 같다. 우선, [math(r' \ll r)]인 영역을 다루고 있으므로 다음 식이 성립한다.
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac1{|{\bf r-r'}|} = \sum_{l=0}^\infty \frac{{r_<}^l}{{r_>}^{l+1}} P_{\,l}(\cos \gamma) \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
P_{\,l}(\cos \gamma) = \frac{4\pi}{2l+1} \sum_{m=-l}^l Y_l^{m*}(\theta',\phi') \,Y_l^m(\theta,\,\phi) \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
q_l^m = \iiint_V Y_l^{m*}(\theta',\phi') \,(r')^l \rho({\bf r'}) \,{\rm d}V' \end{aligned} )] |
2.2. 직교 좌표계에서의 전개
직교좌표계에서는 잘 아는 테일러 전개를 이용해 보도록 하자. 잘 알다시피, 다변수 함수에 대하여 테일러 전개는 다음과 같다.|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac1{|{\bf r-r'}|} &= \frac1{[ ({\bf r-r'}) \boldsymbol{\cdot} ({\bf r-r'}) ]^{1/2}} \\ &= \frac1{[r^2 -2{\bf r} \boldsymbol{\cdot} {\bf r'} +{r'}^2]^{1/2}} \\ &= \frac1r \biggl[ 1 -\frac{2{\bf r} \boldsymbol{\cdot} {\bf r'} +(r')^2}{r^2} \biggr]^{-1/2} \\ &= \frac1r \biggl[ 1 -\frac12 \frac{(r')^2 -2{\bf r} \boldsymbol{\cdot} {\bf r'}}{r^2} +\frac38 \biggl( \frac{(r')^2 -2{\bf r} \boldsymbol{\cdot} {\bf r'}}{r^2} \biggr)^{\!2} +\cdots \biggr] \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
{\bf p}({\bf r'}) \equiv \iiint_V {\bf r'} \rho({\bf r'}) \,{\rm d}V' \qquad Q_{ij} \equiv \iiint_V (3{r'}_i{r'}_j -\delta_{ij}(r')^2) \rho({\bf r'}) \,{\rm d}V' \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\Phi({\bf r}) = \frac1{4\pi\varepsilon_0} \biggl[ \frac{Q_{\rm tot}}r +\frac{{\bf p} \boldsymbol{\cdot} {\bf r}}{r^3} +\frac12 \sum_{ij} Q_{ij} \frac{r_ir_j}{r^5} +\cdots \biggr] \end{aligned} )] |
|
[math(\displaystyle \begin{aligned}
Q_{\rm tot} = \iiint_V \rho({\bf r'}) \,{\rm d}V' \end{aligned} )] |
3. 기타
- 보통 학부 과정에서는 쌍극자 정도까지만 근사하고, 사중극자나 팔중극자까지 근사하여 사용하는 경우는 거의 없다. 더 높은 항까지 사용해야 하는 경우에도 다행인 점이 있다면, 사중극자로 나아간다고 갑자기 내용이 기상천외해지진 않고 기본적 식의 형식은 위의 쌍극자 전개와 유사하다는 점이다. 변수가 끔찍하게 많아질 뿐.
4. 관련 문서
[1]
이 전개식이 왜 이렇게 쓰여지는지에 대해 좀 더 엄밀한 설명이 필요하다면
Arfken 수준 이상의 수리물리학 교재를 볼 것을 권한다.