1. 개요
加 速 度 · acceleration시간에 대한 속도의 변화량[1]. 기호는 주로 [math( \vec{a} )], [math( {a} )]를 쓴다.[2] 간단히 말해 물리학에서 속도만 가지고선 물질의 운동상태를 쉽게 알 수 없기 때문에 도입된 개념. 서로 다른 두 지점에서의 속도의 변화량을 두 지점을 가는 데 걸린 시간으로 또 나누는 것이 평균 가속도, 두 지점의 거리를 극한으로 줄여, 다시 말해 미분해서 구한 것이 순간 가속도이다. 이걸 다시 미분한 값인 가가속도[3], 가가가속도[4], 따위도 있다. 미분할 때마다 앞에 가를 붙여 쓰는데, 보통은 가속도 정도로 충분하지만, 공학 분야에서 가가속도 정도만 드물게 쓰이는 편이다. 가가속도가 0 또는 ±jerk가 되면 이를 시간에 대해 적분한 가속도는 사다리꼴의 형태가 되고, 다시 적분한 속도는 상당히 부드럽게 변화하기 때문에 보다 적은 계산량으로 제어가 가능해진다. 이를 저크제어라고 한다. 철도차량을 예시로 들면, 사람은 가감속 시 가속도에 저항할 수 있도록 몸을 기운다. 잘 가다가 갑자기 풀 제동을 하면, 사람은 넘어질 것이다. 힘의 변화에 적응을 못 한 것이다. 하지만 브레이크 체결단수를 하나하나 높인다면 사람의 뇌는 변화된 가속도에 따른 위치제어를 할 수 있을 뿐더러 저크의 예측 또한 가능하다. 따라서 저크제어 또한 중요하다.
차례대로 위치, 속도, 가속도, 저크의 그래프이다.
2. 정의
한마디로 두 지점 [math(x_1)]과 [math(x_2)] 가 있고 그 지점의 속도를 [math(\vec v_1)]과 [math(\vec v_2)]로 정의하고, 두 지점의 시각을 [math(t_1)]과 [math(t_2)]라고 하면 이에 대한 평균가속도 [math(\vec a_{avg})]는[math(\displaystyle \vec a_{avg}=\frac{\vec v_{2}-\vec v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t})]
이고, 순간가속도 [math(\vec a)]는
[math(\displaystyle \vec a=\lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \vec v}{\Delta t} =\frac{d \vec v}{dt} )]
쉽게 생각하려면 자동차 속도계의 바늘이 1초당 얼마나 빨리 도는가를 생각하면 된다. 빨리 돌면 가속도가 높고, 느리게 돌면 가속도가 낮다.
3. 가속도의 미분
가가속도는 가속도를 더 미분한 것으로 쉽게 말하면 자동차 속도계 바늘의 회전속도 변화량(가속도가 변하는 정도)을 측정하는 것이다. 빨리 돌건 늦게 돌건 돌아가는 가속도가 일정하면 등가속도 운동이므로 가가속도는 0이다. 여기까지를 표로 정리하면 다음과 같다.| 단위 | 명칭[5][6] | |
| 한국어 | 영어 | |
| m/s | 속도 | velocity |
| m/s2 | 가속도 | acceleration |
| m/s3 | 가가속도 | jerk (jolt, surge, lurch) |
| m/s4 | 가가가속도 | snap (jounce) |
| m/s5 | 가가가가속도 | crackle (flounce) |
| m/s6 | 가가가가가속도 | pop (pounce) |
| m/s7 | 가가가가가가속도 | lock |
| m/s8 | 가가가가가가가속도 | drop |
| m/s9 | 가가가가가가가가속도 | shot |
| m/s10 | 가가가가가가가가가속도 | put |
| m/sn | 가*(n-1)속도 | nth derivative of position[7] |
가가속도는 공학에서의 승차감을 계산하는 데 사용되기도 한다.[8] 가가가속도부터는 사실 거의 안 쓰이며 정의만 되어있다고 봐도 무방하다.
가가속도의 영어 명칭은 찌질이( jerk)라는 뜻도 있다. 가가가속도(m/s4)부터의 영어 명칭이 확 깨는데, 차례대로 나열하면 Snap(탁), Crackle(아삭), Pop(팡)이다. 혹시 시리얼이 생각나면서 입에 군침이 돈다면 맞게 생각한 것이다.[9] 과학을 공부하다 보면 이렇게 서양 과학자들의 유머를 볼 수 있는 대목이 많다. 예를 들어 소닉 헤지호그 단백질이라든지, 2008년 네이처지에 처음 등장한 피카츄린과 같은 것들.[10]
제로백[11]이 짧을수록 가속도가 높아 중력 가속도에 육박하며 더 높을 수도 있다. 1G를 제로백으로 환산하면 약 2.8초가 나온다. 역산하면, 100km/h를 초속으로 환산해서 (9.8*2.8)m/s=27.44m/s가 되는 셈이다.
4. 좌표계 표현
가속도는 위치를 시간으로 두 번 미분한 벡터[math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}&=\frac{\mathrm{d}^2 \mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}=\left( \frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}t^2}, \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}t^2}, \frac{\mathrm{d^2}z}{\mathrm{d}t^2} \right)\\&=\ddot{x} \mathbf{\hat{x}} + \ddot{y} \mathbf{\hat{y}} + \ddot{z} \mathbf{\hat{z}}\end{aligned})]
이므로, 가속도의 각 [math(x, y, z)] 성분은 물체의 [math(x, y, z)]좌표를 두 번 미분한 것과 같다. 한편, 이것은 기본벡터가 변하지 않는 직교좌표계에서만 쓸 수 있으며, 다른 종류의 좌표계에서는 위치마다 기본벡터가 다르기 때문에 조금 더 복잡한 형태로 변하게 된다.
[math(\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}} = \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} + \ddot{z} \mathbf{\hat{z}} )]
위의 원통 좌표계 식에서 [math(z)]방향을 제외하면 2차원 극좌표계에서의 식을 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}} = \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}} )]
| [math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}}&= \left( \ddot{r} - r \dot{\theta}^2 - r \dot{\phi}^2 \sin^2{\theta} \right) \mathbf{\hat{r}} + \left( r \ddot{\theta} + 2 \dot{r} \dot{\theta} - r \dot{\phi}^2 \sin{\theta} \cos{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\theta}}\\&+ \left( r \ddot{\phi} + 2 r \dot{\theta} \dot{\phi} + 2 \dot{r} \dot{\phi} \sin{\theta} \right) \boldsymbol{\hat{\phi}}\end{aligned})] |
5. 가속도가 가지는 의미
역학에서 위치, 속도, 가속도를 중심으로 서술한다. 이 세 가지 변수 중 가속도는 뉴턴의 운동법칙과 관련이 있다. 역학에서 핵심이 되는 힘은 질량과 가속도와 관계가 있다. 따라서 물체의 운동을 기술할 때 가속도의 역할이 크다.역학에서 힘과 가속도의 인과관계는 힘이 원인, 가속도가 결과이다. 하지만 일반 상대성 이론의 기초인 등가원리에 따르면 중력과 관성력은 동등하며, 이 경우 (중력)가속도가 원인, 중력이 결과가 된다. 한편 뉴턴 역학에서는 중력( 만유인력)을 질량이 근원인 일반적인 힘으로 설명하며, 가속도는 이 힘에서 뒤따르는 결과가 된다.
6. 단위
일반적으로 단위는 m/s2을 쓴다. 간혹 영어로 meter per square second나 meter per second squared 등으로 나와 있어서, 전자 때문에 초 제곱인지 제곱초인지 구분을 안 하는 경우가 있다. 일단 후자의 명칭을 기준으로 미터 매 초 제곱이라 통상 부른다.위 단위는 물리학에서 가장 많이 쓰는데, 경우에 따라서 다른 단위를 쓰기도 한다.
- CGS 단위 기준으로는 cm/s2(=10-2m/s2)이다. 이는 gal이라고도 한다. 갤런과 헷갈리지 말자.
- mgal(=10-5m/s2)은 대표적으로 지구과학에서 중력가속도의 단위에 사용된다. 9.8m/s2으로 잘 알려져 있는 중력가속도는 지표면에서 지역 별로 미묘하게 달라진다. 중력 탐사에서 이를 측정하는데, 대개 9.79****나 9.80**** 꼴로 나타나는 등 소수점 아래 숫자들만 달라진다. 때문에 훨씬 작은 단위를 씀으로써 미세한 중력 변화를 큰 숫자로 나타낸다. 이를테면 독도에서 측정한 중력가속도는 980032.97mgal이다.(혹은 편의상 9.8m/s2 값과의 차이로 +32.97mgal이라 쓰기도 한다.)
- 열차의 가속도로 (km/h)/s를 쓴다. 흔히 km/h/s로 나타내는데, 원래 첫 번째와 같이 괄호를 이용하거나 km/h·s로 쓰는 게 맞다. 이렇게 쓰는 것은 열차의 속도를 대개 km/h로 나타내기 때문이다. 중전철의 가속도는 3.0(km/h)/s, 경전철은 3.5(km/h)/s라 하면, 이는 10초 동안 중전철은 30km/h, 경전철은 35km/h만큼 가속함을 뜻한다. # 또한 기동가속도라는 명칭도 쓰이는데 열차가 최대로 가속할 수 있는 가속도 값이 기동가속도를 뜻한다. 단 철도차량 제작사나 운영사에 따라서 m/s2 단위를 그냥 그대로 쓰는 경우도 있다. 환산법은 1 m/s2 = 3.6 (km/h)/s이다.
- 플랑크 단위계에서는 플랑크 가속도라는 것이 있다.
7. 등가속도 운동
항목 참고. 가속도를 도입하여 기술하는 운동 중 가장 단순하면서도 대표적인 운동이다. 생활 속에서 찾아볼 수 있는 등가속도 운동으로는 공기 저항을 무시한 자유 낙하 운동이 있다.
[1]
쉽게 말하자면 시간에 따라 물체의 속도가 변하는 정도를 단위로 나타낸 것
[2]
전자의 경우 일반적으로 벡터로 표현할 때 사용하며, 후자의 경우는 뉴턴의 운동 2법칙에서 사용되었다.(
[math( {F = ma} )])
[3]
m/s3; 보통은 저크(jerk)로 부르며 졸트(jolt), 서지(surge), 러치(lurch) 등으로도 부른다.
[4]
m/s4; 자운스(jounce). 스냅(snap)으로도 부른다.
[5]
http://wearcam.org/absement/Derivatives_of_displacement
[6]
https://en.wikipedia.org/wiki/Absement
[7]
위치의 n계도함수(위치를 시간에 대해 n번 미분한 결과)
[8]
사실 이런 데 말고는 가가속도 개념이 별로 안쓰인다.
[9]
실제로 켈로그사에서 만든 '라이스 크리스피' 간식의 마스코트 Snap, Crackle, Pop에서 이름을 따온 것이다.
[10]
당신이 생각하는 그
피카츄가 맞다.
피카츄 돈까스
[11]
정지 상태에서 100km/h에 도달하는 데 걸리는 시간