1. 개요
inertia tensor관성 텐서는 기존 관성 모멘트가 회전축에 따라 달라지는 것을 보완하고, 평면상의 강체 회전뿐만 아니라 3차원상의 회전을 기술하기 위한 관성 모멘트에 대응하는 물리량이다.
2. 사전 배경
각운동량 [math(\mathbf{L})]은 각속도 [math(\boldsymbol{\omega})]와 다음과 같은 관계에 있음을 안다. 각운동량 문서 참고.[math(\displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega})]
위의 식을 그대로 해석하면, 관성 모멘트 [math(I)]는 스칼라이며, '각운동량과 각속도는 서로 평행해야 한다'라는 말이 된다. 그러나, 이것은 강체가 회전축을 중심으로 회전할 때 회전축 방향의 각운동량 성분만을 고려하는 경우에만 성립하며, 3차원상에서 강체는 회전축을 바꾸면서 회전[1]할 수 있기 때문에 각운동량과 각속도는 평행하지 않을 수 있다. 따라서 관성 모멘트 [math(I)]는 스칼라가 될 수 없다.
결론부터 얘기하면, [math(I)]는 스칼라, 벡터보다 고급인 함수인데, 바로 텐서이다.
3. 관성 텐서의 도출
우선 관성 텐서를 회전 운동 에너지로부터 도출해보자.그림과 같이 고정 좌표계인 [math(x_{i}')]계와, 강체의 질량 중심 [math(\textrm{O})]를 원점으로 하고 강체와 같이 회전하는 회전 좌표계(강체 좌표계) [math(x_{i})]계를 고려하자. 이때 회전 좌표계가 고정 좌표계에 대해 [math(\boldsymbol{\omega})]로 회전한다 하면, 아래가 성립한다. 자세한 것은 비관성 좌표계 문서 참고.
| [math(\displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{r'}_{\alpha}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}}=\left( \frac{{\rm d} \mathbf{R}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}}+\left( \frac{{\rm d} \mathbf{r}_{\alpha}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{rotating}}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})] |
- [math(\displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{r'}_{\alpha}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}})]: 고정 좌표계에서 측정한 질점 [math(m_{\alpha})]의 속도.
- [math(\displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{R}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}})]: 고정 좌표계에서 측정한 회전 좌표계의 원점에 대한 속도.
- [math(\displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{r}_{\alpha}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{rotating}})]: 회전 좌표계에서 측정한 질점 [math(m_{\alpha})]의 속도.
- [math(\displaystyle \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})]: 회전 좌표계의 회전에 의한 질점 [math(m_{\alpha})]의 속도.
이때, 강체는 정의상 각 질점의 위치는 회전 좌표계에 대해 변하지 않는다. 따라서
[math(\displaystyle \left( \frac{{\rm d} \mathbf{r'}_{\alpha}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}} \equiv \mathbf{v}_{\alpha} \qquad \qquad \left( \frac{{\rm d} \mathbf{R}}{{\rm d}t} \right)_{\textrm{fixed}}\equiv \mathbf{V})]
라 정의하면 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \mathbf{v}_{\alpha}=\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})]
따라서 강체의 위치 에너지는 각 질점에 해당하는 운동 에너지를 모두 더한 것이므로 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned}\displaystyle T&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}({\mathbf{v}}_{\alpha} {\mathbf{v}}_{\alpha} )=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) (\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}) ]\\&=\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2}+\mathbf{V} \left ( \boldsymbol{\omega} \times \sum_{\alpha} m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \right)\end{aligned})] |
[math(\displaystyle T= \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}V^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2})]
이때, [math(\sum_{\alpha} m_{\alpha} \equiv M)]으로 강체의 전체 질량이 됨에 따라 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle T= \frac{1}{2} MV^{2}+\sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2})]
이때 다음을 각각 강체의 병진 운동 에너지와 회전 운동 에너지라 한다.
[math(\displaystyle \frac{1}{2} MV^{2} \equiv T_{\textrm{trans}} \qquad \qquad \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} \equiv T_{\textrm{rotating}})]
이때, [math((\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})^{2} = (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha})(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\alpha}))]를 이용하여, 회전 운동 에너지 항을 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \sum_{\alpha} \frac{1}{2} m_{\alpha}[\omega^{2} r_{\alpha}^{2}-(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_{\alpha})^{2}])]
이때, 각 벡터의 성분을 밝혀 적으면,
| [math(\displaystyle \sum _{\alpha} \frac{1}{2}m_{\alpha}\left [ \left ( \sum _{i} \omega_{i}^{2} \right ) \left ( \sum _{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-\left ( \sum _{i} \omega_{i}x_{\alpha i} \right ) \left ( \sum _{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ])] |
[math(\displaystyle \sum_{ij}\frac{1}{2} \omega_{i}\omega_{j} \left \{ \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ] \right \})]
이때 다음을 관성 텐서(inertia tensor)로 정의한다.
[math(\displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ])]
관성 텐서는 2차 텐서이며, 행렬 꼴로 나타내면 다음과 같다.
| [math(\pmb{\mathsf{I} }=\begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}) &\displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{2} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{1}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{1} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{3}^{2}) & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{2}x_{3} \\ \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{1} & \displaystyle -\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{3}x_{2} & \displaystyle \sum_{\alpha}m_{\alpha}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{bmatrix})] |
연속체의 경우 합은 적분으로 대체할 수 있으므로 밀도함수 [math(\rho(\mathbf{r}))]를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle I_{ij} \equiv \int \rho(\mathbf{r}) \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{ k}^{2} \right )-x_{ i}x_{ j} \right ] {\rm d}V)]
따라서 이를 이용하면 회전 운동 에너지를 다음과 같이 표기할 수 있다.
[math(\displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \sum_{ij} I_{ij} \omega_{i}\omega_{j}=\frac{1}{2}\boldsymbol{\omega}^T\boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }\boldsymbol{\omega})]
4. 각운동량의 기술
강체의 각운동량은 각 질점의 각운동량의 합과 같으므로[math(\begin{aligned}\displaystyle \mathbf{L}&=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times \mathbf{p}_{\alpha}=\sum_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times (m_{\alpha} \mathbf{v}_{\alpha})\\&=\sum_{\alpha}m_{\alpha} \mathbf{r}_{\alpha} \times ( \boldsymbol{\omega}_{\alpha} \times \mathbf{r}_{\alpha})\end{aligned})]
벡터 항등식을 이용하여 다시 쓰면,
[math(\displaystyle \mathbf{L} =\sum_{\alpha}m_{\alpha}\left [ r_{\alpha}^{2}\boldsymbol{\omega}-(\boldsymbol{\omega} \mathbf{r}_{\alpha}) \mathbf{r}_{\alpha} \right ])]
벡터의 성분을 밝혀 적으면,
[math(\displaystyle L_{i}= \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \omega_{i}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} \left ( \sum_{j} \omega_{j}x_{\alpha j} \right ) \right ])]
이것 또한 크로네커 델타를 사용하여 다시 쓰면,
[math(\displaystyle L_{i} = \sum_{j} \omega_{j} \left \{ \sum_{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij} \left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )- x_{\alpha i} x_{\alpha j} \right ] \right \})]
이때, 중괄호로 처리한 항은 위에서 도출했던 관성 텐서이므로 각운동량은 아래와 같이 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle L_{i} = \sum_{j} I_{ij} \omega_{j})]
이것을 텐서 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{L} = \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } \boldsymbol{\omega})]
따라서 위에서 했던 3차원 회전에선 관성 모멘트 항이 스칼라가 아닌 텐서이어야 한다.
각운동량 식에서 양변에 [math(\omega_{i}/2)]를 곱하고 [math(i)]에 대한 합을 구하면
[math(\displaystyle \sum_{i} \frac{1}{2} \omega_{i} L_{i} = \sum_{ij} \frac{1}{2} I_{ij} \omega_{i} \omega_{j})]
를 얻고, 우변은 위에서 얻었던 회전 운동 에너지이다. 따라서 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle T_{\textrm{rotating}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \mathbf{L}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } \boldsymbol{\omega})]
5. 관련 정리
5.1. 임의의 축에 대한 관성 모멘트
이번에는 관성 텐서를 이용하여, 임의의 축에 대한 강체의 관성 모멘트를 어떻게 구하는지 알아보자.위 그림과 같이 각속도 [math(\boldsymbol{\omega})]로 회전하는 강체를 생각해보자. 이때, 각속도 벡터와 평행하면서, 원점 [math(\textrm{O})]를 지나는 축을 회전축이라 고려해보자. 이 회전축의 방향 벡터 [math(\hat{\mathbf{n}})]를 방향 코사인으로 나타내면,
[math(\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma}))]
이라 나타낼 수 있고, 관성 모멘트의 정의에서 해당 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같다. 프라임은 축으로부터 수직으로 측정된 거리임을 강조하기 위해 붙인 것이다.
[math(\displaystyle I = \sum_{\alpha} m_{\alpha} {r'}_{\alpha}^{2})]
[math({r'}_{\alpha}^{2} = (r_{\alpha} \sin{\theta_{\alpha}})^{2} = \left| \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{r}_{\alpha} \right|^{2})]
이다. 이때, [math(\displaystyle \hat{\mathbf{n}}=(\cos{\alpha},\,\cos{\beta},\, \cos{\gamma}))]와 [math(\mathbf{r}_{\alpha}=\sum_{i} \mathbf{x}_{ai})]임을 이용하면, 다음을 얻는다.
[math(I=\begin{bmatrix}\cos{\alpha} & \cos{\beta} & \cos{\gamma} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}I_{11} & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22} & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix})]
이때 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle I_{ij} \equiv \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ])]
이것을 텐서 기호로 나타내면 다음과 같다.
[math(\displaystyle I = \boldsymbol{\lambda}^{T} \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } \boldsymbol{\lambda})]
여기에서 [math(\begin{bmatrix}\cos{\alpha}\\ \cos{\beta} \\ \cos{\gamma} \end{bmatrix} \equiv \boldsymbol{\lambda})]로, 축의 방향 벡터의 성분을 열벡터로 나타낸 것이며, [math(\boldsymbol{\lambda}^{T})]는 [math(\boldsymbol{\lambda})]의 전치행렬을 뜻한다.
5.2. 평행축 정리
위 그림과 같이 강체의 질량중심이 아닌 [math(\textrm{Q})]를 원점으로 잡은 [math(X_{i})]계를 벡터 [math(\mathbf{a})]만큼 평행이동하여 강체의 질량중심인 [math(\textrm{O})]가 원점인 좌표계 즉, 처음에 관성 텐서를 유도할 때 쓴 [math(x_{i})]계를 고려해보자. 이때, [math(X_{i})]계에서 측정된 관성 텐서의 성분을 [math(J_{ij})]라 놓으면,
[math(\displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} X_{\alpha k}^{2} \right )-X_{\alpha i}X_{\alpha j} \right ])]
이때, 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \mathbf{R}_{\alpha}=\mathbf{r}_{\alpha}+\mathbf{a})]
따라서 위의 관성 텐서는 다음과 같다.
| [math(\displaystyle J_{ij} = \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left \{ \sum_{k} (x_{\alpha k}+a_{k})^{2} \right \}-(x_{\alpha i}+a_{i})(x_{\alpha j}+a_{j}) \right ])] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle J_{ij}&= \sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} x_{\alpha k}^{2} \right )-x_{\alpha i}x_{\alpha j} \right ]+\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{ i}a_{ j} \right ]\\&-2\sum _{\alpha} m_{\alpha} \left[ \delta_{ij} \sum_{k} x_{\alpha k}a_{k}-(x_{\alpha i} a_{j}+x_{\alpha j} a_{i}) \right]\end{aligned})] |
따라서 다음과 같이 관성 모멘트 문서에서 "평행축 정리"로 논했던 것의 일반형을 얻는다.
[math(\displaystyle J_{ij} = I_{ij}+M \left [ \delta_{ij}\left ( \sum_{k} a_{k}^{2} \right )-a_{i}a_{j} \right ])]
6. 관성 주축
위에서 3차원상에서 강체의 회전 운동 시 각운동량과 각속도는 서로 평행하지 않음을 알아냈다. 그러나, 특정 축에선 이들이 평행할 수 있다. 그러한 축을 관성 주축이라 한다. 즉,[math(\displaystyle \mathbf{L}=I \boldsymbol{\omega})]
를 만족시키는 축을 구하려고 하는 것이다. 따라서 다음을 만족시켜야 한다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } \boldsymbol{\omega} =I \boldsymbol{\omega})]
이때, 단위 텐서 [math(\boldsymbol{\pmb{\mathsf{E} } })][2]를 이용하면,
[math(\displaystyle (\boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } }-I \boldsymbol{\pmb{\mathsf{E} }} ) \boldsymbol{\omega} =0)]
로 식을 바꿀 수 있다. 이것을 행렬 꼴로 바꾸면,
[math(\displaystyle \begin{bmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\omega_{1}\\ \omega_{2}\\ \omega_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ 0\end{bmatrix})]
이때, [math(I)]가 [math(0)]을 제외한 해를 갖기 위해선 행렬식
[math(\displaystyle \begin{vmatrix}I_{11}-I & I_{12} & I_{13} \\ I_{21} & I_{22}-I & I_{23} \\ I_{31} & I_{32} & I_{33}-I \end{vmatrix}=0)]
을 만족시켜야 한다.
따라서 관성 주축을 구하는 것은 행렬의 대각화 과정과 동일한 셈이다. 이때, 대각화 과정에서 구해지는 고윳값이 해당 주축의 관성 모멘트에 해당하게 되고, 또한 고유벡터[3]가 곧 주축에 대응하게 된다.
정리하면, 대각화 과정을 거친 후 얻은 고윳값 [math(I)]가 주축의 관성 모멘트이고, 해당 고윳값으로 구해진 각속도 벡터
[math(\displaystyle \boldsymbol{\omega}= (\omega_{1}, \, \omega_{2}, \, \omega_{3}))]
가 주축이 된다.
주축의 관성 모멘트는 각 축에 대해 여러 값이 주어질 수 있으며, 이때 그 구해진 축으로 강체의 좌표계를 정하게 되면, 관성 텐서는 다음과 같은 꼴이 된다.
[math(\displaystyle \boldsymbol{\pmb{\mathsf{I} } } = \begin{bmatrix}I_{1} &0 &0 \\ 0 & I_{2} &0 \\ 0 &0 & I_{3}\end{bmatrix})]
관성 주축은 어떤 직선으로 주어지는 것뿐만 아니라, 평면(축의 임의성이 존재)으로 주어질 수 있기도 하다.
관성 텐서는 대각행렬 및 대칭행렬이기 때문에 구해진 주축은 모두 직교하며, 주축의 관성 모멘트는 실수가 된다. 대칭행렬, 스펙트럼 정리 참고. 이것에 대한 증명은 수준상 생략한다.
7. 관성 텐서 도입의 장점
관성 모멘트의 정의에서 같은 물체를 회전시키더라도 회전축이 어디냐에 따라 관성 모멘트가 달라질 수 있다는 것을 알 수 있다. 따라서 이 불편함을 해결하기 위해 관성 텐서가 도입되었다.관성 텐서는 회전운동에 대한 역학을 엄밀하게 정의하는 데 상당한 도움이 된다. 예를 들면, 각운동량과 각속도 역시 벡터량이므로 주어지는 기존의 각운동량과 각속도의 관계 식[4]에서 관성 모멘트를 관성 텐서로 대치하면 각운동량과 각속도를 각 방향 성분으로 나누어 계산해야만 하는 기존 공식과 달리 3차원 운동에서도 각운동량과 각속도를 그대로 벡터량으로 둔 채로 취급이 가능하다.
8. 관련 문서
[1]
쉽게 볼 수 있는 예가
팽이의
세차운동이다.
[2]
관성 텐서가 2차 텐서이므로 여기서 단위 텐서는 단위 행렬을 말한다.
[3]
여기서는 각속도 벡터가 구해지는데, 각속도는 회전축과 평행하다. 즉, 여기서 구해지는 각속도 벡터가 곧 주축이라 볼 수 있다.
[4]
[math(L=I \omega)]