, 신사의 일본어 じんじゃ의 표준 표기법에 대한 내용은
신사(신토)
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참고하십시오.1. 개요
Pendulum · 振 子일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.
고전 물리학에서 진자의 운동은 기계식 시계의 구현뿐만아니라 표준 미터법 그리고 중력가속도([math(g)]) 및 중력상수([math(G)])의 실측과 매우 밀접한 관련이 있는 핵심 원리이다.
2. 종류
2.1. 단진자
2.2. 물리진자
Physical pendulum수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.
위 그림에서 회전축 [math( \textrm{O} )]로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) [math( \textrm{CM} )]까지의 거리를 [math( L_{\textrm{CM}} )]이라 하자. 이때, 관성모멘트가 [math( I )]인 강체가 받는 토크는
[math(\displaystyle I \ddot{\theta}=-mgL_{\mathrm{CM}}\sin{\theta} )]
가 되고, 이것을 정리하면,
[math(\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\sin{\theta}=0 )]
가 된다. 이때 강체가 작은 변위로 진동한다고 가정하면, [math( \textrm{sin}\,\theta \approx \theta )]로 놓을 수 있으므로
[math(\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM} }}{I}\theta=0 )]
따라서 이 미분 방정식에서 진자의 진동 주기는
[math(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL_{\mathrm{CM} } }} )]
임을 알 수 있다.
2.3. 비틀림 진자
Torsion pendulum그림과 같이 비틀림 계수가 [math( \chi )]인 줄에 관성 모멘트가 [math( I )]인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 [math( \theta )]만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는
[math(\displaystyle I \ddot{\theta} =-\chi \theta )]
로 주어진다. 따라서 이 방정식을 정리하면,
[math( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{ \chi}{I} \theta =0 )]
가 되므로 비틀림 진자의 주기는
[math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\chi}} )]
가 된다. 따라서 초기에 [math( \theta_{m} )]만큼 비틀었다면, 평형점 [math( \textrm{O} )]을 기준으로 [math( \theta_{m} )]만큼의 진폭으로 진동하게 됨을 알 수 있다.
2.4. 결합진자
Coupled pendulum결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.
(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.
(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.
우선 계의 운동 에너지는
[math(\displaystyle T=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2}) )]
이고, 계의 퍼텐셜 에너지는 [math( x_{\textrm{1}} \leq x_{\textrm{2}} )]라 가정하면,
[math(\displaystyle U=mgl(1-\cos{\theta_{1}})+mgl(1-\cos{\theta_{1}})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이다. 이때, [math( \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}} )]가 매우 작다고 가정하면,
[math(\displaystyle \cos{\theta_{i}} \approx 1-\frac{\theta_{i}^{2}}{2} )]
로 근사 가능하다. 따라서 퍼텐셜 에너지는
[math(\displaystyle U=mgl\left( \frac{\theta_{1}^{2}}{2}+\frac{\theta_{2}^{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
그런데, [math( \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}} )]가 매우 작으므로
[math(\displaystyle l \theta_{i} \approx x_{i} )]
로 할 수 있음에 따라
[math(\displaystyle U=\frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]
이상에서 계의 라그랑지안은
[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=T-U \\&=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2})-\left[ \frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} \right] \end{aligned} )]
이상에서 [math( x_{\textrm{1}}, \, x_{\textrm{2}} )]의 각각에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{1}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{1}} \right) \\ x_{2}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{2}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \end{aligned} )]
오일러 방정식을 품으로써 나온 두 식을 더하거나 빼면, 아래의 두 식을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} (\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2})+\frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \\ (\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2})+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right] (x_{1}-x_{2})&=0 \end{aligned} )]
이때, [math( x_{\textrm{1}}+x_{\textrm{2}} \equiv X )], [math( x_{\textrm{2}}-x_{\textrm{1}} \equiv Y )]라 놓으면, 두 방정식을 쉽게 판단할 수 있다.
[math(\displaystyle \ddot{X}+\frac{g}{l}X=0 \qquad \qquad \ddot{Y}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]Y=0 )]
두 방정식은 각각 각진동수 [math( \sqrt{g/l} )], [math( \sqrt{(g/l)+(\textrm{2}k/m)} )]의 조화진동자의 진동 방정식이다. 따라서 결합진자에서 두 변위의 합과 차는 sine 혹은 cosine 항으로 기술된다는 것을 알 수 있다.
이때, [math( x_{\textrm{1}}=x_{\textrm{2}} )]라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(\displaystyle \ddot{x}_{2}+\frac{g}{l}x_{2}=0 )]
이때, [math( x_{\textrm{1}}=-x_{\textrm{2}} )]라면, 계는 위의 두 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.
[math(\displaystyle \ddot{x}_{2}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]x_{2}=0 )]
이때, 위, 아래 상황은 아래 그림과 같이 각각 동 위상, 반대 위상으로 같은 진폭으로 진동하는 경우이다. 따라서 반대 위상인 경우가 더 빠르게 진동함을 알 수 있다.