1. 개요
Poisson bracket / - 括 弧 / Crochet de Poisson푸아송 괄호는 1809년, 프랑스 수학자 푸아송(Siméon Denis Poisson; 1781-1840)이 제안한 이항 연산이다.
해밀턴 역학의 운동방정식을 표현할 때 유용하다.
2. 정의
푸아송 괄호는 위치 [math(q_{i})]와 운동량 [math(p_{i})]로 정해지는 정규 좌표계 [math((q_{i},\,p_{i}))]와 시간 [math(t)] 위에서의 두 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(g(q_{i},\,p_{i},\,t))]에 대하여 다음과 같이 정의된다.| [math(\begin{aligned} \{ f,\, g\} \equiv \sum_{i} \biggl( \frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}} \biggr) \end{aligned})] |
- [math(\{p_{i},\,p_{j} \}=0)]
- [math(\{q_{i},\,q_{j} \}=0)]
- [math(\{q_{i},\,p_{j} \}=\delta_{ij})]
다만 양자역학 등지에서는 반교환자와 함께 등장할 수도 있으므로, 푸아송 괄호를 [math(\{ \quad \}_{\sf{PB}})]로 쓰거나 반교환자를 [math([\quad]_{+})]로 쓰기도 한다.
3. 성질
세 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(g(q_{i},\,p_{i},\,t))], [math(h(q_{i},\,p_{i},\,t))]에 대하여 다음이 성립한다.- [math(\{f,\,g\}=-\{g,\,f\})]
- [math(\{ f+g,\,h\}=\{ f,\,h\}+\{ g,\,h\})]
- [math(\{ fg,\,h\}=\{ f,\,h\}g+\{ g,\,h\}f)]
- [math(\{f,\,\{g,\,h \} \}+\{g,\,\{h,\,f \} \}+\{h,\,\{f,\,g \} \}=0)]
4. 교환자와의 관계
교환자 문서를 읽어보면 위의 정의와 성질이 매우 유사하다는 것을 깨달을 수 있다. 실제로 고전역학에서 출발하여 양자역학을 전재하는 다양한 방법 중 푸아송 괄호를 교환자로 치환하는 방법이 있다. 즉, 해밀턴 역학에서| [math(\begin{aligned} \{q_{i},\,p_{j} \}=\delta_{ij} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} [\hat{q}_{i},\,\hat{p}_{j}]\overset{?}{=} \delta_{ij} \end{aligned})] |
첫 번째는 본래의 결과와 그 결과의 켤레 에르미트 켤레 사이의 관계이다. 푸아송 괄호의 계산 결과는 [math(1 \times 1)] 행렬로 생각할 수 있으므로 에르미트 켤레는 곧 켤레 복소수와 같다. 또한 고전역학에서의 함수 [math(p)]와 [math(q)]는 실함수이므로 켤레 복소수는 본래 함수와 같다. 다시 말해서 푸아송 괄호의 결과는 실수이고, 이는 위의 식에서도 확인할 수 있다. 그러나 양자역학에서 관측 가능한 연산자는 모두 에르미트 행렬[1]로 표현할 수 있는데, 에르미트 행렬의 교환자는 다음에서 볼 수 있듯이 반 에르미트 행렬[2]이다.
| [math(\begin{aligned} [A,\,B]^{\dagger}&=(AB-BA)^{\dagger} \\ &=(AB)^{\dagger}-(BA)^{\dagger} \\ &=B^{\dagger}A^{\dagger}-A^{\dagger}B^{\dagger}\\&=BA-AB \\&=-[A,\,B] \end{aligned})] |
두 번째는 차원이다. 푸아송 괄호에서는 두 함수의 [math(p)]와 [math(q)]에 관한 미분이 포함되어 있으므로 두 함수의 곱의 단위에서 [math(\mathrm{J\cdot s})] 만큼을 나누어 준 단위가 푸아송 괄호의 결과의 단위가 된다. 즉 [math( \{q_i,\,p_j\})] 의 단위는 없고, 이는 위에서도 확인된다. 그러나 교환자에는 그러한 차원 변환 과정이 없어 단지 두 연산자의 곱에 의하여 단위가 결정된다. 따라서 푸아송 괄호의 결과를 교환자의 결과로 바꾸기 위해서는, 교환자에서의 결과에 [math(\mathrm{J\cdot s})] 의 단위를 가지는 상수를 곱해주어야 한다. 이 상수가 바로 [math(\hbar)], 즉 플랑크 상수이다.[3]
이렇게 양자역학의 표준 교환 관계(canonical commutation relation)를 끌어내었다. 더욱 중요한 것은 이 관계는 위치와 운동량에 관해서만 성립하는 것이 아닌, 위치와 운동량으로 표현되는 모든 물리량에서 성립한다는 것이다. 즉 물리량 [math( A)], [math(B)]와 이들에 각각 대응하는 연산자 [math(\hat{A})] , [math(\hat{B})]에 대하여 다음이 성립한다.
| [math(\begin{aligned} \{A,\,B\}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{A},\,\hat{B}] \end{aligned})] |
5. 기타
푸아송 괄호는 해밀턴 역학의 다양한 식을 직관적인 꼴로 나타내기 매우 적합하다.예를 들어 해밀턴 역학에서 운동 방정식
| [math(\begin{aligned} \dot{q}_{i}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}} \\ -\dot{p}_{i}&=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \dot{q}_{i}&=\{q_{i},\,\mathcal{H}\} \\ \dot{p}_{i}&=\{p_{i},\,\mathcal{H}\}\end{aligned})] |
위에서 더 나아가 일반적인 함수 [math(f)]에 대해서는
| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d} f}{{\rm d}t}&=\{f,\,\mathcal{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t}\end{aligned})] |
- [증명]
- -------
일반적인 함수 [math(f(q_{i},\,p_{i},\,t))]를 고려하자. 이 함수의 전미분을 고려하면
이상에서[math(\begin{aligned} {\rm d}f=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}{\rm d} q_{i}+\frac{\partial f}{\partial p_{i}}{\rm d} p_{i} \biggr)+\frac{\partial f}{\partial t}{\rm d} t \end{aligned})]
해밀토니언의 운동 방정식을 사용하면[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{{\rm d} q_{i}}{{\rm d} t}+\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{{\rm d} p_{i}}{{\rm d} t} \biggr)+\frac{\partial f}{\partial t} \end{aligned})] [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}&=\sum_{i}\biggl(\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_{i}}\biggr)+\frac{\partial f}{\partial t} \\&=\{f,\,\mathcal{H}\}+\frac{\partial f}{\partial t} \end{aligned})]
함수 [math(f)]가 시간에 의존하지 않는다면 우변의 제2항은 0이 되는데,
| [math(\begin{aligned} \frac{{\rm d} f}{{\rm d}t}&=\{f,\,\mathcal{H}\}\end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \{f,\,\mathcal{H}\}=0\end{aligned})] |
고전역학 자체에 뭔가 새로운 물리를 더해주지는 않는다고 생각할 수 있지만, 위에서 언급하였듯이 푸아송 괄호는 고전 역학과 양자 역학 사이를 이어주는 견고한 다리 역할을 한다. 즉 쓸모가 있는 수준이 아니라 무지막지하게 중요하다. 이러한 점이 물리학자들이 푸아송 괄호를 진정 아름답다고 부르는 이유일 것이다.
[1]
자신과 자신의 에르미트 켤레가 같은 행렬
[2]
자신과 자신의 에르미트 켤레의 합이 0이 되는 행렬
[3]
차원은 이렇게 결정되지만 그 상수의 실제 값에 대해서는 어떠한 정보도 얻을 수 없다. 플랑크 상수가 현재의 값을 가진다는 사실만큼은 현재의 물리학으로는 연역적으로 설명할 수 없다. 그도 그럴 만한 게, 플랑크 상수 값은 순전히 단위의 선택에 따라 결정되는 값이기 때문이다. 그리고 물론 미터나 킬로그램 같은 단위들의 정의는 인간의 편의에 맞춰 정해진 것이다. 현재의 물리학이 아니라 (과학)역사학 같은 인문학이 오히려 이를 설명하기에 적절할 것이다. 그런 관점에서 [math(\hbar)]를 1로 두는
자연 단위계가 좀 더 자연스러울 수도 있을 것이다.