1. 개요
변화량이라는 개념은 여러 학문에서 존재한다.2. 변화율
변화율은 증분과 같은 뜻으로 미적분학에서 쓰이는 용어다. 다른 학문에서는 변화분 등의 다른 이름으로 칭해지기도 한다. 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다.예를 들어 함수 [math(y=x^{2})]에서 [math(x)]의 값이 [math(1)]부터 [math(3)]까지 변하면 [math(y)]의 값은 [math(1)]부터 [math(9)]까지 변화한다. 이때 독립변수 [math(x)]의 변화량은 [math(2)]이며, 이를 [math(x)]의 증분이라 하고 그리스 문자 [math(\Delta)](델타, Delta)를 사용하여 [math(\Delta x)]로 나타낸다.[1] 마찬가지로 종속변수 [math(y)]의 변화량인 [math(8)]을 [math(\Delta x)]에 대한 [math(y)]의 증분이라 하고, [math(\Delta y)]로 나타낸다.
2.1. 평균변화율
어떤 함수 [math(f(x))]의 그래프가 있다고 할 때, [math(x)]축 위의 두 실수 [math(a)]와 [math(b)] ([math(a<b)])를 생각해 보자. 이제 [math(f(x))] 위에 위 사진과 같이 두 점 [math(\mathrm{A}(a,\,f(a)))], 점 [math(\mathrm{B}(b,\,f(b)))]를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 [math(\mathrm{A})]부터 [math(\mathrm{B})]까지의 ([math(x)]의 증가량) 분의 ([math(y)]의 증가량), 즉 [math(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a})]는 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 [math(x)]의 증가량을 [math(\Delta x)], [math(y)]의 증가량을 [math(\Delta y)]라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 [math(\Delta)]를 붙여주자.
미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.
[math(y)]의 증분 [math(\Delta y)]를 [math(x)]의 증분 [math(\Delta x)]로 나눈 [math(\displaystyle{{\Delta y \over \Delta x}=4})]를 닫힌 구간 [math([1,\,3])]에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 [math(y=x^{2})] 위의 두 점 [math((1,\,1))], [math((3,\,9))]를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.
함수 [math(y=f(x))]에서 [math(x)]의 값이 [math(a)]부터 [math(a+\Delta x)]까지 변할 때, [math(\displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {f(a+\Delta x)-f(a) \over \Delta x} )]를 구간 [math([a,\,a+\Delta x])]에서의 [math(y)]의 평균변화율이라고 한다.
이 때 평균변화율은 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((a+\Delta x,\,f(a+\Delta x)))]을 잇는 직선의 기울기와 같다.
2.2. 순간변화율
만약 [math(x)]의 증분의 절댓값인 [math(|\Delta x|)]를 아주 작게 하면, 즉 [math(\Delta x\to 0)]일 때, 평균변화율 [math(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x})]의 극한값을 생각할 수 있다. 이를 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 순간변화율이라 한다.[math(x=a)]에서 연속하는 함수 [math(y=f(x))]에 대해 [math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]의 값이 존재할 때, 함수 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 미분가능(Differentiable)하다고 하며, 이때 이 극한값은 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 변화율, 그 중에서도 순간변화율에 해당된다.
이를 기호 [math(f'(a))], [math(\left.y'\right|_{x=a})], [math(\displaystyle\left[ \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \right] _{x=a})]로 나타낸다. 어떤 점에서의 순간변화율은 그 점에서의 접선의 기울기와 같다.
미적분을 처음 접하면 순간변화율이라는 이름부터 알려주지만 본격적으로 미분을 시도할 때 미분 계수(differential coefficient)라는 이름이 더욱 자주 쓰인다. 미분을 할 때에는 식의 최고차항의 계수가 중요하게 여겨지기 때문이다. 어떻게 한 점에서의 기울기, 그러니까 미분계수를 구하느냐에 관한 것이 위 개념, 미분의 기초라고 보면 된다.
이제 미분계수를 구해보자. 아까의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선에서 [math(x)]의 증가량인 [math(\Delta x)]가 [math(0)]으로 가까워지면, 함수 [math(f)]가 연속이라는 가정 하에 자연스럽게 점 [math(\mathrm{B})]가 점 [math(A)]로 다가가며[2] 직선이 짧아질 것이고, 이 [math(\Delta x)]가 [math(displaystyle lim_{Delta x to 0})]이 붙어 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 다가가게 된다면 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})] 사이의 거리가 똑같이 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 가까워져, 즉 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]가 동일한 것은 아니지만 한없이 가까워져 평균변화율을 구하던 식이 한 지점의 순간변화율을 구하는 식이 되기 때문이다.
순수 수학에서는 크게 중요하지 않지만, 과학 계통에서는 미분 계수의 [math(\mathrm{d})]를 이탤릭체 [math(d)]가 아니라 로만체 [math(\mathrm{d})]로 사용하는 것이 좋다. 이탤릭체는 변수나 문자를 의미하는데, [math(d)]는 두께나 거리 등을 나타내는 문자로 사용하기 때문에 헷갈릴 수 있기 때문이다. [math(dx)]가 [math(x)]의 미분계수인지, 거리 [math(d)]와 변수 [math(x)]의 곱인지 알 수 없기 때문이다.
3. 한계
경제학 등에서 다른 단어와 합성되어 그 요소의 변화량을 가리킨다.- 한계비용
- 한계수입