최근 수정 시각 : 2022-08-01 13:35:55

변화량



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1. 개요2. 변화율
2.1. 평균변화율2.2. 순간변화율
3. 한계

1. 개요

변화량이라는 개념은 여러 학문에서 존재한다.

2. 변화율

변화율은 증분과 같은 뜻으로 미적분학에서 쓰이는 용어다. 다른 학문에서는 변화분 등의 다른 이름으로 칭해지기도 한다. 어떤 변수들이 변화한 정도의 비이다.

예를 들어 함수 [math(y=x^{2})]에서 [math(x)]의 값이 [math(1)]부터 [math(3)]까지 변하면 [math(y)]의 값은 [math(1)]부터 [math(9)]까지 변화한다. 이때 독립변수 [math(x)]의 변화량은 [math(2)]이며, 이를 [math(x)]의 증분이라 하고 그리스 문자 [math(\Delta)](델타, Delta)를 사용하여 [math(\Delta x)]로 나타낸다.[1] 마찬가지로 종속변수 [math(y)]의 변화량인 [math(8)]을 [math(\Delta x)]에 대한 [math(y)]의 증분이라 하고, [math(\Delta y)]로 나타낸다.

2.1. 평균변화율

파일:미분_평균변화량.png
어떤 함수 [math(f(x))]의 그래프가 있다고 할 때, [math(x)]축 위의 두 실수 [math(a)]와 [math(b)] ([math(a<b)])를 생각해 보자. 이제 [math(f(x))] 위에 위 사진과 같이 두 점 [math(\mathrm{A}(a,\,f(a)))], 점 [math(\mathrm{B}(b,\,f(b)))]를 잡고, 이 두 점을 이어 직선을 만들면 [math(\mathrm{A})]부터 [math(\mathrm{B})]까지의 ([math(x)]의 증가량) 분의 ([math(y)]의 증가량), 즉 [math(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a})]는 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선의 기울기이다. 이때 [math(x)]의 증가량을 [math(\Delta x)], [math(y)]의 증가량을 [math(\Delta y)]라 한다. 어떤 변수의 증가량을 나타내려면 [math(\Delta)]를 붙여주자.

미분에서는 이 기울기를 변화율이라고 부르게 되는데, 여기서 평균변화율은 두 점 사이의 그래프 전체의 기울기이다.

[math(y)]의 증분 [math(\Delta y)]를 [math(x)]의 증분 [math(\Delta x)]로 나눈 [math(\displaystyle{{\Delta y \over \Delta x}=4})]를 닫힌 구간 [math([1,\,3])]에서의 y의 평균변화율이라고 한다. 이 값은 [math(y=x^{2})] 위의 두 점 [math((1,\,1))], [math((3,\,9))]를 지나는 직선의 기울기와 같다. 일반적인 평균변화율의 정의는 다음과 같다.
함수 [math(y=f(x))]에서 [math(x)]의 값이 [math(a)]부터 [math(a+\Delta x)]까지 변할 때, [math(\displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {f(a+\Delta x)-f(a) \over \Delta x} )]를 구간 [math([a,\,a+\Delta x])]에서의 [math(y)]의 평균변화율이라고 한다.

이 때 평균변화율은 두 점 [math((a,\,f(a)))], [math((a+\Delta x,\,f(a+\Delta x)))]을 잇는 직선의 기울기와 같다.

2.2. 순간변화율

만약 [math(x)]의 증분의 절댓값인 [math(|\Delta x|)]를 아주 작게 하면, 즉 [math(\Delta x\to 0)]일 때, 평균변화율 [math(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x})]의 극한값을 생각할 수 있다. 이를 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 순간변화율이라 한다.
[math(x=a)]에서 연속하는 함수 [math(y=f(x))]에 대해 [math(\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x})]의 값이 존재할 때, 함수 [math(f(x))]는 [math(x=a)]에서 미분가능(Differentiable)하다고 하며, 이때 이 극한값은 함수 [math(f(x))]의 [math(x=a)]에서의 변화율, 그 중에서도 순간변화율에 해당된다.

이를 기호 [math(f'(a))], [math(\left.y'\right|_{x=a})], [math(\displaystyle\left[ \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} \right] _{x=a})]로 나타낸다. 어떤 점에서의 순간변화율은 그 점에서의 접선의 기울기와 같다.

미적분을 처음 접하면 순간변화율이라는 이름부터 알려주지만 본격적으로 미분을 시도할 때 미분 계수(differential coefficient)라는 이름이 더욱 자주 쓰인다. 미분을 할 때에는 식의 최고차항의 계수가 중요하게 여겨지기 때문이다. 어떻게 한 점에서의 기울기, 그러니까 미분계수를 구하느냐에 관한 것이 위 개념, 미분의 기초라고 보면 된다.

이제 미분계수를 구해보자. 아까의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]을 지나는 직선에서 [math(x)]의 증가량인 [math(\Delta x)]가 [math(0)]으로 가까워지면, 함수 [math(f)]가 연속이라는 가정 하에 자연스럽게 점 [math(\mathrm{B})]가 점 [math(A)]로 다가가며[2] 직선이 짧아질 것이고, 이 [math(\Delta x)]가 [math(displaystyle lim_{Delta x to 0})]이 붙어 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 다가가게 된다면 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})] 사이의 거리가 똑같이 [math(0)]은 아니지만 [math(0)]으로 한없이 가까워져, 즉 [math(\mathrm{A})]와 [math(\mathrm{B})]가 동일한 것은 아니지만 한없이 가까워져 평균변화율을 구하던 식이 한 지점의 순간변화율을 구하는 식이 되기 때문이다.

순수 수학에서는 크게 중요하지 않지만, 과학 계통에서는 미분 계수의 [math(\mathrm{d})]를 이탤릭체 [math(d)]가 아니라 로만체 [math(\mathrm{d})]로 사용하는 것이 좋다. 이탤릭체는 변수나 문자를 의미하는데, [math(d)]는 두께나 거리 등을 나타내는 문자로 사용하기 때문에 헷갈릴 수 있기 때문이다. [math(dx)]가 [math(x)]의 미분계수인지, 거리 [math(d)]와 변수 [math(x)]의 곱인지 알 수 없기 때문이다.

3. 한계

경제학 등에서 다른 단어와 합성되어 그 요소의 변화량을 가리킨다.
  • 한계비용
  • 한계수입


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[1] 어떤 책에서는 대문자 델타([math(\Delta)])가 아닌 소문자 델타([math(\delta)])를 쓰기도 한다. [2] 그래프 상의 두 점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]의 위치를 결정하는 [math(x)]축 위 [math(b-a)]가 [math(\Delta x)]이기 때문이다.