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고전역학 Classical Mechanics |
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1. 개요
Impulse · 衝撃量물체가 받은 충격의 정도를 나타내는 물리량으로 시간 구간 [math([t_{1},\,t_{2}])]에 대하여 다음과 같이 정의된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{I}=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \mathbf{F}(t)\,{\rm d}t \end{aligned} )]
힘 [math(\mathbf{F})]가 벡터 물리량이므로 충격량 [math(\mathbf{I})] 또한 벡터 물리량이다.
만약 힘이 한 방향으로 가해졌고, 그 크기가 시간에 의존하지 않는다면, 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} I=F\Delta t \end{aligned} )]
시간에 의존한다면
[math(\displaystyle \begin{aligned} I=\int_{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\rm d}t \end{aligned} )]
이것을 좌표평면상에 생각하면 해당 구간의 힘-시간 그래프와 시간 축이 이루는 넓이를 의미한다. 그런데
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,{\rm d}t=\langle F \rangle \Delta t \end{aligned} )]
형태로 쓸 수 있다. [math(\Delta t=t_{2}-t_{1})]이다. 이에 [math(\langle F \rangle)]를 해당 구간의 평균 힘의 크기라 볼 수 있다. 적분의 평균값 정리에 의해 [math(\langle F \rangle)]는 항상 존재한다.
다르게 생각하면 다음이 성립함을 알 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{\dot{I}}=\mathbf{F} \end{aligned} )][1]
2. 단위와 차원
단위는 [math(\rm{N\cdot s})]를 쓰나, [math( \mathrm{kg \cdot m/s} )]로도 쓸 수 있다.차원은 [math(\sf{MLT^{-1}})]이다.
3. 운동량과의 관계
뉴턴 제2법칙에 의하여[math(\displaystyle \mathbf{F} = \frac{\text{d} \mathbf{p}}{\text{d}t})]
이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{I}&=\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\text{d} \mathbf{p}}{\text{d}t}\,{\rm d}t \\&=\int_{\mathbf{p}_{1}}^{\mathbf{p}_{2}} \rm{d} \mathbf{{p}}\\&=\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1} \\&=\Delta \mathbf{p} \end{aligned} )]
으로 정리된다. 즉, 충격량은 운동량 변화량과 같다.
==# 관련 예제 #==
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| 2017학년도 대수능 물리 II 20번 (오답률: 66.5%) |
- [풀이 보기]
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[math(\mathbf{\hat{x}})], [math(\mathbf{\hat{y}})] 방향을 [math(+)]로 잡는다.
우선 문제를 보며, 몇 가지 정보를 알아낼 수 있다.- 충돌 후 같은 시간 동안 운동하여 서로 충돌하므로 [math(y)]축 방향의 충돌 후 속력은 같다.
- 전기장은 [math(-x)]방향이다. 즉, 힘은 [math(x)]축 방향으로만 작용하였기에 [math(\rm A)]는 충격량과 운동량 관계에 의해 [math(x)]축에 대한 속도만 바뀐다. 즉, [math(\rm A)]의 [math(y)]축 속도(운동량)는 보존된다.
- 포물선 운동 전후 비보존력이 가해지지 않았기에 역학적 에너지는 보존돼야 한다. 따라서 전기장 영역을 들어갔을 때와 나왔을 때 속력은 같고, 2번에 의해 [math(x)]축 속도는 반전된다는 사실을 얻는다.
- 충돌 후 [math(x)]축 방향의 두 물체의 운동량의 합은 0이 돼야 한다. 따라서 질량비가 [math(1:3)]이므로 속력비는 [math(3:1)]이다.
충돌 후 [math(\rm B)]의 속도의 [math(x)]축 성분을 [math(v_{x})], [math(y)]축 성분을 [math(v_{y})]라 하자. 위에서 알아낸 정보에 의해 [math(\rm A)]의 속도의 [math(x)]축 성분을 [math(3v_{x})], [math(y)]축 성분을 [math(v_{y})]이다.
[math(y)]축 운동량 보존에 의해
[math(\displaystyle \begin{aligned} mv_{y}+3mv_{y}=mv_{0} \quad \to \quad v_{y}=\frac{v_{0}}{4} \end{aligned} )]
물체가 탄성 충돌 하였으므로 충돌 전후 운동 에너지는 보존된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2}mv_{0}^2=\frac{1}{2}m \left[ \left(\frac{v_{0}}{4}\right)^2+(3v_{x})^2 \right]+\frac{1}{2}(3m) \left[ \left(\frac{v_{0}}{4}\right)^2+(v_{x})^2 \right] \end{aligned} )]
여기서 [math(v_{x}=v_{0}/4)]임을 얻는다.
전체 운동 시간은 [math(\rm B)]의 운동을 관찰함으로써
[math(\displaystyle \begin{aligned} T=\frac{2L}{\dfrac{v_{0}}{4}}=\frac{8L}{v_{0}} \end{aligned} )]
이고, 여기서 [math(\rm A)]가 [math(L+|-3L|=4L)]만큼 움직인 시간
[math(\displaystyle \begin{aligned} T'=\frac{4L}{\dfrac{3v_{0}}{4}}=\frac{16L}{3v_{0}} \end{aligned} )]
이 두 시간의 차
[math(\displaystyle \begin{aligned} T-T'\equiv \Delta T =\frac{8L}{3v_{0}} \end{aligned} )]
가 결국 [math(\rm A)]가 전기장 영역에서 운동한 시간이다.
전기장 영역에서 [math(\rm A)]가 받는 충격량은 힘과 시간의 곱이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} I=(-qE_{0}) \Delta T=-\frac{8qE_{0}L}{3v_{0}} \end{aligned} )]
한편 이 충격량과 운동량 변화량 사이의 관계에 의해
[math(\displaystyle \begin{aligned} -\frac{8qE_{0}L}{3v_{0}}=m\left(-\frac{v_{0}}{4} \right)-m\left(+\frac{v_{0}}{4} \right) \quad \to \quad v_{0}^{2}=\frac{16}{9}\frac{qE_{0}L}{m}\end{aligned} )]
따라서 제곱근을 씌운 ④가 정답이다.
4. 기타
- 고등학교 교육과정 상 충격량 개념을 다루고 있다.