1. 개요
이 문서에서는 사이클로이드와 관련된 물리학적 문제를 다룬다. 최속 강하 곡선 문제(brachistochrone problem)와 등시 곡선 문제(Tautochrone problem)가 대표적이다.2. 상세
2.1. 최속 강하 곡선 문제
최속 강하 곡선 문제(Brachistochrone problem)란, 중력장 하에서 임의의 두 점 사이를 물체가 내려올 때, 하강 시간이 최소가 되는 두 점을 잇는 곡선을 구하는 문제이다.1696년, 라이프니츠의 제자였던 요한 베르누이는 뉴턴을 도발하기 위해 이 문제를 수학 학회지에 제시했고, 이것을 본 뉴턴은 12시간 만에 풀었다는 일화가 있다.
이 문제는 세계의 모든 학생들이 변분법을 공부할 때 한 번쯤은 풀고 가게 되는 유명한 문제이다.
문제를 간단히 하기 위해 곡선의 시작점을 원점으로 설정하고, 임의의 한 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 이으며, 조건을 만족시키는 곡선을 [math(y)]라 놓자. 이때, 역학적 에너지 보존에 의해 [math(y)]만큼 낙하했을 때, 물체의 속력을 [math(v)]라 놓으면
[math(\displaystyle mgy=\frac{1}{2}m v^{2} \, \to \, v=\sqrt{2gy} )]
한편, [math(\mathrm{d}s)]만큼의 경로로 내려오는 데 걸린 미소 시간을
[math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )]
로 쓸 수 있다. 여기서 [math(\mathrm{d}s)]는 곡선의 미소 길이이다. 그런데
[math(\displaystyle \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x )]
로 쓸 수 있으므로
[math(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_{0}^{x_{1}} \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}}\,\mathrm{d}x )]
가 된다. 범함수
[math(\displaystyle J(y,\,y',\,x) \equiv \frac{\sqrt{1+y'^{2} } }{\sqrt{y}} )]
를 오일러-라그랑주 방정식에 대입해야 하는데, 해당 범함수엔 [math(x)]가 명시적으로 나타나 있지 않으므로 벨트라미 항등식을 이용한다. 즉, 다음 식
[math(\displaystyle J-y'\frac{\partial J}{\partial y'}=\text{const.})]
에 [math(J(y,\,y',\,x))]를 대입해서 정리하면 아래와 같은 꼴을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{y}\sqrt{1+y'^{2} } }=\sqrt{C} )]
여기서 [math(C)]는 상수이다. 이를 정리하면 다음의 미분 방정식을 얻는다.
[math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \sqrt{\frac{1-Cy}{Cy}})]
이때, 다음과 같은 치환을 고려하자.
[math(\displaystyle y \equiv \frac{1}{C} \sin^{2}{\frac{\theta}{2}})]
여기서 [math(C)]는 상수이다.
[math(\displaystyle x=\int \sqrt{\frac{Cy}{1-Cy}} \,\mathrm{d}y )]
임을 이용하면
[math(\displaystyle x=\frac{1}{2C}(\theta-\sin{\theta})+c)]
를 얻는다. 그런데 해당 곡선은 원점을 지나야 하므로 적분 상수 [math(c)]는 [math(0)]이다. 또한, [math((2C)^{-1} \equiv r)]로 놓으면, 곡선의 매개변수 방정식은
[math(\begin{aligned}\displaystyle x&=r(\theta-\sin{\theta})\\ y&=r(1-\cos{\theta})\end{aligned})]
가 되므로 이는 사이클로이드의 매개변수 방정식이다. 이 때, 상수 [math(r)]는 점 [math((x_{1},\,y_{1}))]을 지난다는 조건을 이용하면 구할 수 있다.
아래의 그림은 위의 내용을 시각화한 것이다.
각 곡선은 위에서부터 직선, 포물선, 원, 사이클로이드, 육차 곡선[1]이다.
2.2. 등시 곡선 문제
등시 곡선 문제(tautochrone problem)는 중력장 하에서 물체를 곡선 위의 어디에 놓는지에 상관없이 그 물체가 최하점에 도달하는 시간이 같아지는 곡선을 찾는 문제이다. 사이클로이드는 이 문제를 만족시키는 곡선이라는 사실이 1659년 호이겐스에 의해 증명되었다.위 그림과 같이
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=r(\theta-\sin{\theta}) \\
y&=-r(1-\cos{\theta}) \qquad (0 \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )]
의 반주기의 사이클로이드 곡선을 고려하자. 이 곡선 위의 한 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]에서 물체를 놓았을 때, 곡선의 최하점인 [math(\mathrm{Q}(r\pi,\,-2r))]까지 이동하는 데 걸린 시간을 구해 보자. 이때, 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]는 매개변수 [math(\theta_{0}\,(0 \leq \theta_{0} <\pi))]를 도입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{0}&=r(\theta_{0}-\sin{\theta_{0}}) \\ y_{0}&=-r(1-\cos{\theta_{0}}) \end{aligned} )]
역학적 에너지 보존 법칙을 이용하여 이 문제를 쉽게 해결할 수 있다. 이 법칙을 이용하여 [math(y)]에 도달했을 때에 대해 쓰면
[math(\displaystyle gy_{0}=gy+\frac{1}{2}v^{2} )]
이 된다. 이때
[math(\displaystyle -gr(1-\cos{\theta_{0}})=-gr(1-\cos{\theta})+\frac{1}{2}v^{2} )]
으로 쓸 수 있고, 이것을 정리하면
[math(\displaystyle v=\sqrt{2gr}\sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} })]
이므로, 미소 길이 [math(\mathrm{d}s)]를 지나는 동안 걸린 미소 시간 [math(\mathrm{d}t)]는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}s}{v} )]
한편, 곡선의 길이는 상위 문서에서 다룬 바와 같이
[math(\displaystyle \mathrm{d}s=2r\sin\frac{\theta}{2}\,\mathrm{d}\theta )]
이므로 다음이 성립한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{d}t&=\sqrt{\frac{2r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos{\theta_{0}}-\cos{\theta} }}\,\mathrm{d}\theta \\
&=\sqrt{\frac{r}{g}}\frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta \end{aligned} )]
따라서 [math(\theta)]에 대한 영역 [math(\theta_{0} \leq \theta \leq \pi)]에 대해 적분을 함으로써 하강 시간을 구할 수 있다.
[math(\displaystyle t= \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{\theta_{0}}^{\pi} \frac{\displaystyle \sin\frac{\theta}{2}}{\displaystyle \sqrt{ \cos^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}}-\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} }} \,\mathrm{d}\theta )]
적절한 변수 치환
[math(\displaystyle z \equiv \frac{\displaystyle \cos{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\, \to \, \mathrm{d}z=-\frac{1}{2}\frac{\displaystyle \sin{\frac{\theta}{2} } }{\displaystyle \cos{\frac{\theta_{0}}{2} } }\,\mathrm{d}\theta )]
을 사용하면 적분은 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} t&=2 \sqrt{\frac{r}{g}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-z^{2} } }\,\mathrm{d}z \\ &={\pi}\sqrt{\frac{r}{g}} \end{aligned} )]
따라서 점 [math(\mathrm{P})]의 위치에 관계없이 최저점 [math(\mathrm{Q})]까지 낙하하는 데 걸리는 시간은 상수이다.
위 논의를 확장하면, 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 운동의 주기 또한 등시성을 갖는다고 할 수 있다. 위에서 구한 낙하 시간 [math(t)]는 해당 진동 운동의 1/4 주기에 해당하기 때문에 사이클로이드 면 위에 놓인 물체의 진동 주기는 다음과 같다.
[math(\displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{4r}{g}} )]
아래는 이를 시각화한 그림이다.
이러한 등시성은 진자시계를 만드는 데 활용되었다.
2.2.1. 사이클로이드 진자
사이클로이드 진자란, 위 그림처럼 [math(\mathrm{A \to O})], [math(\mathrm{O \to B})]가 형성하는 원의 반지름이 같은 사이클로이드 반주기 곡선에 해당하고, 길이가 반주기의 사이클로이드 곡선과 같은 줄을 물체와 연결하고, 점 [math(\mathrm{O})]에 매단 진자를 의미한다.
위 문단에서 '중력장하에서 사이클로이드 궤도는 등시 곡선 궤도로 움직이는 것이므로, 곧 운동의 주기는 물체의 초기 위치가 어디든 상관없이 같다'는 것을 증명했다.
따라서 다음을 증명한다면, 위 사이클로이드 진자 역시 물체의 초기 위치에 상관없이 운동 주기가 같음을 보일 수 있다.
- 물체가 움직이는 경로 [math(\mathrm{A \to C \to B})]는 사이클로이드이다.
- 장력과 운동 방향은 수직이다.
[1] 물체가 움직이는 경로가 사이클로이드임을 보이기
선분 [math(\mathrm{OC})]를 기준으로 좌우가 대칭이므로 [math(\mathrm{C \to B})]인 경우만 보면 된다. 이것을 좌표평면상에 다음과 같이 나타내자.
이 때, 점 [math(\mathrm{P})]는 사이클로이드 면 [math(\mathrm{C \to B})]상의 점이고, 점 [math(\mathrm{K})]는 물체가 위치하는 점이다. 점 [math(\mathrm{P}(x_{\mathrm{P}},\,y_{\mathrm{P}}) )]는 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{\mathrm{P}}&=a(\theta-\sin{\theta}) \\ y_{\mathrm{P}}&=-a(1-\cos{\theta})+2a \end{aligned} )]
로 나타낼 수 있고, 이 사이클로이드는 직선 [math(y=2a)]에 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성된다. 이때, 진자의 줄은 위 그림과 같이 청색 영역과 적색 영역으로 각각 구분할 수 있으며, 전자는 사이클로이드면에 닿은 부분, 즉 [math(0 \to \theta )]까지의 사이클로이드 곡선이며, 후자는 점 [math(\mathrm{P})]에서 그은 접선이다. 이미 반주기 사이클로이드 곡선의 길이는 [math(4a)]이므로 줄의 총 길이는 문제 상황에 따라 [math(4a)]임을 안다. 청색 영역의 길이는
[math(\displaystyle \int_{0}^{\theta} \sqrt{\left( \frac{\mathrm{d}x_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}+\left( \frac{\mathrm{d}y_{\mathrm{P} } }{\mathrm{d} \theta} \right)^{2}}\,\mathrm{d} \theta=4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right) )]
이므로 적색 영역의 길이는
[math(\displaystyle 4a-4a \left(1-\cos{\frac{\theta}{2}} \right)=4a\cos{\frac{\theta}{2}} )]
이다. 즉, 이 길이는 [math(\overline{\mathrm{PK}})]에 해당한다.
이제 각 [math(\varphi)]에 대한 정보를 얻자. 선분 [math(\mathrm{PK})]의 기울기는 [math(\tan{(\varphi+\pi/2)}=-\cot{\varphi})]이고, 적색 접선의 기울기는 매개변수 함수에 대한 미분법으로 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=-\frac{\sin{\theta}}{1-\cos{\theta}}=-\cot{\frac{\theta}{2}} )]
따라서
[math(\displaystyle -\cot{\varphi}=-\cot{\frac{\theta}{2}} \,\to \, \varphi=\frac{\theta}{2} )]
한편
[math( \begin{aligned}\displaystyle \overline{\mathrm{HK}}&=4a\cos{\frac{\theta}{2}} \sin{\frac{\theta}{2}} =2a\sin{\theta} \\ \overline{\mathrm{PH}}&=4a\cos^{2}{\frac{\theta}{2}} =2a(\cos{\theta}-1) \end{aligned} )]
이므로 점 [math(\mathrm{P}(a(\theta-\sin{\theta}),\, -a(1-\cos{\theta})+2a))]인 것을 이용해 점 [math(\mathrm{K})]의 좌표를 [math(\theta)]에 대한 매개변수 방정식
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=a(\theta-\sin{\theta})+2a\sin{\theta} \\ y&=-a(1-\cos{\theta})+2a-2a(\cos{\theta}+1) \end{aligned} )]
로 표현할 수 있다. 이것을 간단히 정리하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \end{aligned} )]
로 쓸 수 있는데, 이것은 사이클로이드
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta}) \\ y&=a(1-\cos{\theta}) \end{aligned} )]
를 [math(y)]축 방향으로 [math(-2a)]만큼 평행이동한 후 [math(y)]축을 기준으로 하여 대칭이동한 곡선의 매개변수 방정식이므로, 진자의 운동 경로는 사이클로이드이다. 정확히 표기하면 진자는 [math(-\pi \leq \theta \leq \pi)]에서 움직이므로 진자가 움직이는 경로의 매개변수 방정식은
[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=-a(\theta-\sin{\theta})+2a \theta \\ y&=a(1-\cos{\theta})-2a \qquad (-\pi \leq \theta \leq \pi) \end{aligned} )]
이다. 참고로 이 곡선은 [math(x)]축 아래에 붙어서 반시계 방향으로 돌아가는 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러가면서 형성된다.
[2] 장력과 이동 방향은 수직임을 보이기
이것은 간단히 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선과 적색 직선이 수직임을 보이면 된다. 적색 직선의 기울기가
[math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} )]
라는 것은 위에서 보였다. 점 [math(\mathrm{K})]에서 그은 접선의 기울기는 매개변수 방정식의 미분법을 사용하면
[math(\displaystyle \frac{(\mathrm{d}y/\mathrm{d} \theta)}{(\mathrm{d}x/\mathrm{d} \theta)}=\frac{\sin{\theta}}{1+\cos{\theta}}=\tan{\frac{\theta}{2}} )]
가 된다. 따라서 두 직선의 기울기 곱은
[math(\displaystyle -\cot{\frac{\theta}{2}} \cdot \tan{\frac{\theta}{2}}=-1)]
이므로 두 직선은 수직이다. 따라서 장력과 이동 방향은 수직이다.
결국, 이 상황은 곧 위에서 다뤘던 사이클로이드 면 위를 진동 운동하는 물체의 상황과 같다.[2] 또한, 해당 물체는 반지름이 [math(a)]인 원이 굴러감으로써 형성되는 사이클로이드 궤도를 따르고 있고, 중력장에서 사이클로이드는 등시 곡선임을 위에서 증명했기 때문에 점 [math(\mathrm{K})]는 (모든 마찰을 무시한다면) 초기 위치가 [math(\mathrm{A,\,B})] 사이 어디에 있든 주기
[math(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{4a}{g}})]
로 왕복 운동한다. 이 주기는 줄의 길이가 [math(4a)]이며 진폭이 작은 단진자의 주기와 일치한다. 나아가 단진자의 경우 진동 각이 커짐에 따라 오차가 나지만, 이 사이클로이드 진자를 이용하면 진동 각에 관계없이 진동 주기가 같기 때문에 진동 주기를 이용하여 단진자보다 정확하게 시간을 측정할 수 있다. 실제로, 하위헌스는 이 성질을 이용하는 진자 시계를 만들었다.
아래의 그림은 이상의 내용을 시각화한 것이다.