1. 개요
중력 상수(gravitational constant, 기호는 G) 또는 보편중력상수(普遍重力常數,universal gravitational constant )는 고전역학에서 뉴턴의 만유인력의 법칙에 나타나는 보편 상수인 중력의 상수를 말한다. 이는 곧, 단위 질량의 두 질점(質點)이 단위 거리만큼 떨어져 있을 때 작용하는 만유인력의 값으로 구체적인 값은 아래와 같다.[math( G=6.674\,30(15) \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}})][1][2]
일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식에서도 값의 변화 없이 그대로 등장한다.
또한 중력상수는 플랑크 상수, 태양 질량(기호 ☉)등 아주 작은 미시세계부터 매우 거대한 태양계의 별 질량에 이르기까지 가장 기본이 되는 상수(constant) 값이다. 따라서 직접 실측을 통하지 않고서는 따로 계산해 낼 수 없는 값이다.
1.1. 다인 표기
다인(dyn)[math(1 dyn = 10^{-5} N)](뉴톤)
따라서
[math( G=6.664 \times 10^{－8}\,{\rm dyn \cdot cm^2 gm^{-2}})][3][4]
[math( =6.664 \times 10^{－11}\,{\rm N \cdot m^2 kg^{-2}})]
6.664값은 1940대를 전후해서 통용되던 뉴턴 중력 상수(Newton’s gravitation constant)의 수치이다.
2. 중력 상수
존 미첼(John Mitchell)이 설계하고 헨리 캐번디시(Henry Canendish)에 의해 완성되고 연구된 캐번디시 실험(Cavendish experiment)의 지구 밀도와 중력상수의 계산과정|
|
| M(큰쇠공)과 m(작은 쇠공)의 두 질량간의 거리(r) 그리고 중력(F)에 의한 W(비틀림 꼬임 선)의 θ(각도)와 반지름 [math({{L}\over{2}})] |
[math( 2F2{{L}\over{2}} = W \theta )]
를 조사할 수 있다. 이때 중력상수(G)는
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]로 부터
[math( W \theta =G {{mM 2L}\over{r^2}})]를 얻을 수 있다.
한편 비틀림 각(θ)에서 비틀림 계수 W는
회전축이 중심에 있는 길이 L인 얇은 막대에서 비틀림 계수가 W이고 관성 모멘트가
I 인 쇠구슬이 매달려 있는 축에서
비틀림 진자(Torsion pendulum)의 진동주기는[math( T = 2\pi \sqrt{{I}\over{W}})] 이고
회전축으로 부터 떨어진 거리(축 길이=L)인 반경[math( \left(\dfrac{L}{2} \right) )]거리에서 질량 m,1, , m,2, 에 대해서 이 계의 관성 모멘트는 아래와 같이 주어진다.
[math( I = m_1\left(\dfrac{L}{2} \right)^2 +m_2\left(\dfrac{L}{2} \right)^2 = 2{{m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}} )] 이고
[math( T = 2\pi { \sqrt{{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )]
[math( T^2 = { 2^2 \pi^2 {{2m\left(\dfrac{L}{2} \right)^2}\over{W}} } )] [math( T^2 = {{{4\pi^2 2m\dfrac{L^2}{4} }\over{W}} } )]
[math( W = \dfrac{4\pi^2 2m{L^2}}{{4}T^2} )]
[math( W = \dfrac{\pi^2 2m{L^2}}{T^2} )]
따라서
[math( \dfrac{\pi^2 m{L^2}}{T^2} \theta =G {{m M 2L}\over{r^2}} )]
[math( \dfrac{\pi^2 \cancel{2}\cancel{m}L^{\cancel{2}} r^2}{T^{2} \cancel{m} M \cancel{2}\cancel{L}} \theta =G )]
[math( \dfrac{\pi^2 L r^2}{T^2 M } \theta =G )]
3. 가우스 중력상수
가우스 중력상수(gaussian gravitational constant,기호는 K)는 천체단위에서 태양질량(M⊙ 또는 M,s,), 시간( 태양일(Day),T), AU(태양-지구간 거리,L)를 단위로 갖는다.[math( K = 0.017 2020 9895 M^{-1} T^{-2}L^3 )]
4. 불확도
이 상수는 다른 물리 상수에 비해 유효숫자가 적은데 고작 5개밖에 되지 않는다. 이는 중력이 터무니없이 약한 힘이기 때문이다.[8] 이 문제 때문에 킬로그램을 더 밀접한 중력 상수가 아닌 플랑크 상수를 이용해 정의했다.5. 구심 가속도
등속 원운동으로부터 (원)선속도 [math( \displaystyle{{v}\over{r}} = \omega)]에서 회전가속도 [math(r\omega^2 = \dfrac{v^2}r)]을 얻을수있다.그리고 이것을 원(구)심가속도(a) 로 사용하면
뉴턴의 제2운동법칙으로 부터 F = ma 에 대입해서
[math( F = m \dfrac{v^2}r)]
을 얻을수있다.
6. 태양 질량
[math( \text{중력}(F) =G {\Large {{m M}\over{r^2}} } )]와 지구의 구심가속도 [math( F = m \dfrac{v^2}{r} )] 로 부터[math( G {\Large {{m M}\over{r^2}} } = m \dfrac{v^2}r )]
여기서 [math( G : \text{중력상수}, M : \text{태양질량} , m : \text{지구질량}, r : \text{태양과 지구와의 거리(반지름)} , v : \text{지구의 공전 속도} )]
[math( G {\Large {{m M}\over{r^2}} } = \dfrac{m v^2}{r} )]
[math( {M } = \dfrac{m v^2 r^2}{m r G} )]
[math( {M } = \dfrac{v^2 r}{ G} )]
태양과 지구와의 거리(AU) 149,597,870,700m [9], 중력상수 0.000000000066743 N m^2^ kg^-2^
, 지구의 공전 속도(sec) = [math( \dfrac{\text{태양과 지구와의 거리}\cdot 2\pi}{365.25} \div day(24) \div hour(60) \div min(60) = 29,785.254365592 m sec)]
[math( \text{태양질량} (M) = \dfrac{(29,785.284688845 m / sec)^2 \cdot 149,598,023,000m }{0.000000000066743 m^3 /sec^2 kg } )]
[math( M = 1.988487005×10^{30} kg )]
따라서 태양을 기준으로 하는 태양질량(Solar Mass,기호 [math( M_\odot)]) 단위는
[math( 1 M_\odot = 1.988487005×10^{30} kg )]이다.
7. 지구 밀도
힘[math((F)= ma)]로 부터중력힘(F)은 [math( F= {mg} )], g는 중력가속도 - (1)
중력(F) = [math( G {{mM}\over{r^2}})]에서
중력상수[math( (G) = \dfrac{Fr^2}{mM} )] - (2)
(2)에 (1) 을 대입하면
[math( G = \dfrac{mgr^2}{mM} )]
[math( G = \dfrac{gr^2}{M} )] - (3)
[math(\text{밀도}(\rho)= \dfrac{\text{질량}(M)}{\text{부피}(V)} )]
따라서
[math( M= \rho V )] , [math( V = \dfrac{4}{3} \pi r^3 )]는 지구부피 - (4)
(4)를 (3)에 대입하면
[math( G = \dfrac{gr^2}{\rho \dfrac{4}{3} \pi r^3} )]
[math( G = \dfrac{{3}g}{\rho {4} \pi r} )]
따라서
지구밀도[math((\rho) )]는 [math( \rho = \dfrac{{3}g}{ G {4} \pi r} )]
7.1. 계산
지구밀도 [math( (\rho) = \dfrac{{3}g}{ G {4} \pi r} )][math( \rho = \dfrac{{3}\cdot 9.8 m/sec^2}{ 0.000000000066743 m^3/sec^2 kg \cdot {4}\cdot 3.14 \cdot 6,378,000m} = 5498.7940 kg/m^3 = 5.498 g/cm^3)]
현재 지구 평균 밀도는 5.515로 제시된다.
8. 관련 문서
[1]
(swinburne university of technology)Cosmos- Gravitational Constant
https://astronomy.swin.edu.au/cosmos/g/Gravitational+Constant
[2]
(IAU) RESOLUTION B1 - International Astronomical Union
https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf
[3]
Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman ,P497
#
[4]
Probable Values of the General Physical Constants ,Raymond T. Birge,Rev. Mod. Phys. 1, 1 – Published 1 July 1929
#
[5]
The Royal Society ,Philosophical Transactions \[469\]Experiment XXI. Experiments to determine the density of the earth , Henry Cavendish, Published:01 January 1798 Volume 88
https://doi.org/10.1098/rstl.1798.0022
[6]
《자연철학의 수학적 원리》Philosophiae Naturalis Principia Mathematica by Isaac Newton 1686,1687 (Latin)
https://www.gutenberg.org/ebooks/28233
[7]
The Mean Density of the Earth: An Essay to which the Adams Prize was Adjudged in 1898 (공)저: John Henry Poynting ,The University of Cambridge (P41) The Experiment proposed by Michell
https://books.google.co.kr/books?id=dg0RAAAAIAAJ&pg=PA45&redir_esc=y
[8]
대놓고 약한 힘이라는 이름인
약력보다도 어마어마한 차이로 약하다.
[9]
IAU RESOLUTION B2 태양과 지구와의 거리 149,597,870,700m ±3m
https://www.iau.org/static/resolutions/IAU2012_English.pdf
[10]
사실 모티브를 고려해 보면 중력 상수를 염두에 둔 것이긴 하다.