1. 개요
접평면(tangent plane) 또는 줄여서 접면은 곡면 위의 한 점을 접하는 접선들이 놓여 있는 평면을 말한다.접선(tangent line)이 1개인 경우는 일변수함수인 곡선의 기울기가 대표적이다.
접면은 이변수함수의 곡면 위의 한 점을 접하는 기울기가 2개이다보니 접선들이라는 표현보다는 평면의 접점을 가리키는 접평면(접면)이라는 표현이 사용된다.
2. 곡면의 접면
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| 오목한 곡면을 가지는 다변수함수의 최소값 접면 예 |
접선(tangent line)의 방정식 [math( z= ax+b )]와 [math( z= ay+b )]로부터 기울기 값을 의미하는 (편)미분을 계산하면[1] [2]
[math( z= ax+b )]는 [math( \dfrac{\partial f}{\partial x} x)]
[math( z= ay+b )]는 [math( \dfrac{\partial f}{\partial y} y)]
이 두 식을 더한 총2개의 증가량으로 표현해 볼수있다.
따라서
접평면(tangent plane) [math( z)]는
[math( z= \dfrac{\partial f}{\partial x} x + \dfrac{\partial f}{\partial y} y)] 임을 조사할수있다.
이것을 일반화하면
[math( (z - z_0)= \dfrac{\partial f}{\partial x} (x-x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y} (y-y_0) )]
이어서 미소(smallness 또는 infinitesimals) 변화량인 증분으로 표현해보면
[math( \Delta z= \dfrac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \dfrac{\partial f}{\partial y} \Delta y )]
접평면 근사식(approximation formula)을 얻을수있다.
또한
[math( \dfrac{\partial f}{\partial x} )]를 [math( f_x )]의 편미분으로 표현해보면
[math( d z= f_x dx + f_y dy )] 전미분(total differential)을 얻을 수 있다.
3. 임계점
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| [math( z = x^2 + y^2 -1 )]에서의 임계점(critical point) 조사 |
[math( f_x = \dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x , f_y = \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2y )]이고
[math( z = 0 \text{인 경우는} f_x=0 , f_y = 0 )]일때 이므로
[math( f_x = \dfrac{\partial z}{\partial x} = 2x =0 )]
[math( f_y = \dfrac{\partial z}{\partial y} = 2y =0 )]
[math( z= x^2 + y^2 -1 )]
[math( z= 0^2 + 0^2 -1 = -1 )]
따라서 임계점 z(x,y)은 z(0,0)에서 접평면 z가 -1에서 조사된다. 이때 임계점(critical point)은 최소값임을 확인할수있다.
4. 관련 문서
[1]
구텐베르크 프로젝트 - Calculus Made Easy , Silvanus P. Thompson 1914 ,THE MACMILLAN CO.
https://www.gutenberg.org/files/33283/33283-pdf.pdf
[2]
구텐베르크 프로젝트 - Elementary Illustrations of the Differential and Integral Calculus by De Morgan 1899 Kegan Paul, Trench, Tr ̈ubner & Co., Ltd., London
https://www.gutenberg.org/files/39041/39041-pdf.pdf