Square- free integer / 平方 因子を もたない 整数 / 无 平方数 因数的 数
1. 개요
말 그대로 제곱수(1은 모든 자연수의 약수이므로 제외)인 약수를 갖지 않는 자연수.약수에 제곱수가 1밖에 없으므로 [math(n)]이 3 이상일 때 [math(n)]제곱수인 약수도 1을 제외하면 당연히 없으며, 소인수분해하여 모든 소인수의 지수가 1이 되는 수를 찾음으로써 구할 수 있다. 서로 다른 여러(1개, 심지어 0개여도) 소수들의 곱이라고 생각할 수도 있다.
이와 비슷하게 삼각수, 오각수, 육각수 등등과 같은 n각 인수가 없는 정수(1은 제외)도 생각해 볼 수 있겠으며, 정사각수는 제곱수와 같으므로 제곱인수가 없는 정수와 같은 말이다.
2. 명칭
문서 최상단에서 보듯 매우 간결한 영어 표현(특히 형용사 부분인 square-free는 2음절밖에 되지 않는다.)과 달리 영어를 제외한 다른 언어권에서는 이런 수들을 가리키는 이름이 문장형 제목을 연상케 할 정도로 길다. 다른 유럽 언어로도 마찬가지로 길며, 이런 합성어 만들기에 도가 튼 독일어( Quadrat freie Zahl[1]) 정도만이 영어 수준으로 짧은 이름을 사용한다. 한자의 압축력을 살려 무승수( 無 乘 數)라고 번역하기도 한다.3. 성질
1과 모든 소수는 제곱인수가 없는 정수이다.뫼비우스 함수는 제곱인수가 없는 정수에서만 0이 아닌 값으로 정의가 된다.
4. 비율
모든 자연수 중 제곱인수가 없는 정수의 비율, 즉 [math(Q(x))]를 [math(x)] 이하의 제곱인수가 없는 정수의 개수라고 할 때 [math(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{Q(x)}{x})]의 값은 [math(\displaystyle\prod_{p\, \in\, {\mathbb P}}\left(1-\frac{1}{p^{2}}\right)=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^{2}}\approx 0.6079)]이다.[math(\zeta)]는 제타 함수이다.
4.1. 100까지의 제곱인수가 없는 정수
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10
- 11, 13, 14, 15, 17, 19
- 21, 22, 23, 26, 29, 30
- 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39
- 41, 42, 43, 46, 47
- 51, 53, 55, 57, 58, 59
- 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70
- 71, 73, 74, 77, 78, 79
- 82, 83, 85, 86, 87, 89
- 91, 93, 94, 95, 97
5. 순환강제수
제곱인수가 없는 정수이면서 1과 소수를 포함해 각 소인수가 다른 소인수에서 1을 뺀 수의 소인수가 되게 하는 경우가 없다면, 이 수를 순환강제수(임시번역, cyclicity-forcing number)라고 한다. 즉, 이런 수를 위수로 하는 군은 무조건 순환군이다. 소수는 이 부가조건이 의미가 없으므로 당연히 순환강제수이기도 한데, 위수가 소수인 군이 순환군임은 대수학의 앞부분에서 배우는 기초적인 정리이기도 하다. 또한, 2를 제외한 소수는 홀수라서 그 수에서 1을 빼면 2로 나누어떨어진다. 다시 말해 2와 다른 소수를 약수로 갖는 순간 순환강제수는 될 수 없다. 다시 말해 2는 유일한 짝수 순환강제수이다.5.1. 100까지의 순환강제수
- 1, 2, 3, 5, 7
- 11, 13, 15, 17, 19
- 23, 29
- 31, 33, 35, 37
- 41, 43, 47
- 51, 53, 59
- 61, 65, 67, 69
- 71, 73, 77, 79
- 83, 85, 87, 89
- 91, 95, 97
6. 바리에이션
1을 빼고 세제곱수인 약수를 갖지 않는 수를 세제곱인수가 없는 정수(cube-free integer)라고 하며, 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 2 이하이다. 당연히 1, 모든 소수, 모든 소수의 제곱은 세제곱인수가 없는 정수이다. 제곱인수가 없는 정수는 모두 세제곱인수가 없는 정수인데다가 세제곱수의 비율이 매우 적으므로 1부터 n까지의 자연수 중 세제곱인수가 없는 정수는 매우 많고, 따라서 목록을 작성하지는 않겠다. 실제로 모든 자연수 중 세제곱인수가 없는 정수의 비율, 즉 [math(Q(x))]를 [math(x)] 이하의 세제곱인수가 없는 정수의 개수라고 할 때 [math(\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{Q(x)}{x})]의 값은 [math(\displaystyle\prod_{p\, \in\, {\mathbb P}}\left(1-\frac{1}{p^{3}}\right)=\frac{1}{\zeta(3)}\approx 0.8319)]로 상당히 높다.6.1. 가환강제수
세제곱인수가 없는 정수이면서 1과 소수, 소수의 제곱인 경우를 포함해 각 소인수가 다른 소인수(소인수의 지수가 1인 경우), 또는 해당 소인수의 제곱(소인수의 지수가 2인 경우)보다 1 작은 수의 소인수가 되는 경우가 없다면[2] 이 수를 가환강제수(임시번역, abelianness-forcing number)라고 한다. 즉, 이런 수를 위수로 하는 군은 무조건 가환군이다.예를 들어서 2023 = 7 × 172인데, 17은 7보다 1 작은 6의 소인수가 되지 않고, 7은 172보다 1 작은 288의 소인수가 되지 않으므로 2023은 가환강제수이다. 자연스럽게 모든 순환강제수는 가환강제수인데, 순환군이 가환군임은 대수학의 앞부분에서 배우는 기초적인 정리 때문이다.
가환강제수에 대한 증명은 여기를 참조하자. 참고로 여기에서는 위수가 [math(n)]인 순환군을 [math(\mathbb{Z}_n)]이 아닌 [math(C_n)]으로 표기했다.
6.2. 100까지의 가환강제수
- 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9
- 11, 13, 15, 17, 19
- 23, 25, 29
- 31, 33, 35, 37
- 41, 43, 45, 47, 49
- 51, 53, 59
- 61, 65, 67, 69
- 71, 73, 77, 79
- 83, 85, 87, 89
- 91, 95, 97, 99
[1]
Zahl을 줄인 것이 바로 우리가 익히 쓰는
[math(mathbb{Z})]이다.
[2]
왜 1 작은 수인지는
실로우 정리의 제3정리 참조.