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상대성 이론 Theory of Relativity |
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Einstein tensor
1. 개요
아인슈타인 텐서(Einstein tensor)는 리만 다양체의 곡률을 나타내는 랭크(Rank)2- 텐서장의 하나로, 리치 곡률 텐서에 대각합의 배수를 뺀 것이다. 비앙키 항등식에 따라 공변보존된다. 일반 상대성 이론에서는 아인슈타인 방정식에 따라 에너지-모멘텀 텐서에 비례한다. 기호는 [math(G_{\mu\nu})]이다. [A] [나]2. 정의
아인슈타인 텐서 [math(G_{\mu\nu})]는 (준)리만 다양체(pseudo-riemmanian manifold)에서 정의되는 2차 대칭 텐서(Symmetric tensor)로, 리치 텐서 [math(R_{\mu\nu})], 리치 스칼라 [math(R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu})]에 대하여 다음과 같이 정의된다.[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]
3. 아인슈타인 텐서의 대각합
아인슈타인 텐서[math(\displaystyle G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})]
의 양변을 축약하면
[math(\displaystyle g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg^{\mu\nu}g_{\mu\nu})]
이 때 [math(G = g^{\mu\nu}G_{\mu\nu})]라 두면 (4차원의 경우)
[math(G = R - 2R = -R)]
을 얻는다. ([math(n)]차원의 경우, [math(\displaystyle G = \frac{2-n}{2}R)])
따라서, 아인슈타인 텐서는 역대각합 리치 텐서(trace-reversed ricci tensor)라고도 부른다.
4. 비앙키 항등식과 아인슈타인 텐서
비앙키 항등식[math(\nabla_{\sigma}R_{\alpha\beta\mu\nu} + \nabla_{\alpha}R_{\beta\sigma\mu\nu} + \nabla_{\beta}R_{\sigma\alpha\mu\nu} = 0)]
을 두 번 축약해보면 다음과 같다.
[math(g^{\nu\beta}g^{\mu\sigma}(\nabla_{\sigma}R_{\alpha\beta\mu\nu} + \nabla_{\alpha}R_{\beta\sigma\mu\nu} + \nabla_{\beta}R_{\sigma\alpha\mu\nu}) = \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \nabla_{\alpha}R + \nabla^{\nu}R_{\alpha\nu} = 0)]
이는 다음과 같이 정리할 수 있다.
[math(\displaystyle \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}\nabla_{\alpha}R = \nabla^{\mu}R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}\nabla^{\mu}Rg_{\alpha\mu} = \nabla^{\mu}\left(R_{\alpha\mu} - \frac{1}{2}Rg_{\alpha\mu}\right) = 0)]
따라서, 아인슈타인 텐서는 다음을 만족시킨다. 즉, 공변 보존된다.
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = 0)]
5. 일반 상대성 이론에서
아인슈타인 텐서는 물리학의 일반 상대성 이론에서 매우 중요하다. 일반 상대성 이론은 기하학적 중력이론으로, 2차 대칭 텐서 스트레스-에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]를 중력의 근원(source)으로 보므로 그에 의해 생성되는 중력장은 일차적으로 중력장을 만드는 [math(g_{\mu\nu})]에 대한 일련의 미분으로 이루어진 어떤 2차 대칭 텐서 [math(\Gamma_{\mu\nu})]로 표현되어야 한다.중력장 방정식, 즉 아인슈타인 방정식을 스트레스-에너지 텐서 [math(T_{\mu\nu})]에 대하여
[math(\Gamma_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
라 표현했을 때, [math(T_{\mu\nu})]는 국소적 에너지-운동량 보존법칙 혹은 수학적으로 공변 보존이라는 매우 중요한 항등식을 만족시키므로 [math(\Gamma_{\mu\nu})] 역시 이러한 항등식을 만족시켜야 한다. 비앙키 항등식에서 살펴볼 수 있듯이 수학적으로 이에 대응되는 것은 아인슈타인 텐서이다.
[math(G_{\mu\nu} = kT_{\mu\nu})]
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = k\nabla^{\mu}T_{\mu\nu} = 0)]
[math(\nabla^{\mu}G_{\mu\nu} = k\nabla^{\mu}T_{\mu\nu} = 0)]
여기에서, 좌변은 수학적인 항등식이지만, 우변은 물리적 요구에 따른 텐서 성분의 관계식이다. 따라서, 수학적으로 보면 이 방정식은 엄밀히 말해 우변이 좌변의 원인이라기보다는 시공간과 물질이 얽혀 있는 방식을 나타낸다고 해석할 수 있다.
아인슈타인 방정식을 풀 때 접속 계수 계산과 함께 계산량을 상당히 많이 차지하는데, 정적이고 구형 대칭성을 띠는 시공간의 경우 형태가 단순하게 유도되는 일반 좌표계에 대한 계산값이 슈바르츠실트 좌표계 문서에 정리되어 있다. 형태에 따라 치환하여 사용할 수 있다.
6. 관련 문서
[A]
Relativity Thermodynamics And Cosmology 1943 Richard Chace Tolman, 발행인 Clarendon Press
https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.177229
[나]
THE MATHEMATICAL THEORY OF RELATIVITY BY A. S. EDDINGTON, M.A., M.Sc., F.R.S. ,PLUMIAN PROFESSOR OF ASTRONOMY AND EXPERIMENTAL PHILOSOPHY IN THE UNIVERSITY OF CAMBRIDGE 1923
https://www.gutenberg.org/files/59248/59248-pdf.pdf