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1. 개요
일반 상대성 이론에서, 빠르게 회전하는 (각운동량이 큰) 천체의 중력장을 기술하기 위해서는 (각운동량 방향의) 축 대칭을 띠지만, 슈바르츠실트 해와 같은 구형 대칭은 띠지 않는 시공간을 생각해야 한다. 이러한 조건을 만족시키는 아인슈타인 방정식의 엄밀해로 커 해(Kerr solution)와 커-뉴먼 해(Kerr-Newman solution)가 있다. 커 해는 빠르게 회전하는 천체를, 커-뉴먼 해는 거기에 대전량도 큰 천체를 표현한다.아인슈타인 방정식의 구형 대칭 해를 구하는 것은 어려운 일이 아니다. 슈바르츠실트 해는 1915년(아인슈타인 방정식이 발표되고 한 달만에), 라이스너-노르드스트룀 해는 1916년 발견되었다. 이들은 구형 대칭을 만족시키는 유일한 해임을 버코프 정리(1922)가 말해주므로, 임의의 (회전하지 않는) 천체에 대응됨이 보장된다. 그러나 커 해와 커-뉴먼 해는 계산이 매우 복잡하며, 1963년이 되어서야 로이 커(Roy Kerr)가 커 해를 발견하였다.[kerr(1963)] 이후 1965년 뉴먼(Newman) 등이 커의 해에 전하량을 더하여 커-뉴먼 해가 완성되었다.[Newman(1965)] 문제는 버코프 정리와 같은 장치가 존재하지 않기 때문에 사실 일반적인 (회전하는) 천체에 적용될 수 있는 해인지는 알 수 없다는 것이다. 이들의 유효성은 오로지 "블랙홀"에 대해서만 보장되어 있다. 일반적인 천체가 커 해를 따르지 않는다는 증명은 없지만, 커 해가 유도되는 천체 모델이 발견된 적도 없다.
커 해와 커-뉴먼 해의 관계는 슈바르츠실트 해와 라이스너-노르드스트룀 해의 관계와 유사하다. 대전량에 의해 하나의 지평선이 더 발생한다. 여기에서는 커 해를 중심으로 다룬다.
2. 보이어-린드퀴스트 좌표계
슈바르츠실트 해와 라이스너-노르드스트룀 해가 슈바르츠실트 좌표계로 기술되듯, 커 해와 커-뉴먼 해는 보이어-린드퀴스트 좌표계(Boyer-Lindquist coordinates)로 기술된다. 주요 변수로는 천체의 질량 [math(M)]과 각운동량 [math(J)]가 있다. 보이어-린드퀴스트 좌표계 [math((t, r, \theta, \phi))] 하에 커 해는 계량이 다음과 같이 표현된다.|
[math(\displaystyle ds^2 = -\left(1-\frac{r_s r}{\Sigma}\right)c^2dt^2 + \frac{\Sigma}{\Delta}dr^2 + \Sigma\,d\theta^2 + \left(r^2 + a^2 +\frac{a^2r_sr\sin^2\theta}{\Sigma}\right)\sin^2\theta d\phi^2 - 2ac\frac{r_sr\sin^2\theta}{\Sigma}\,dtd\phi)] [math(\displaystyle a = \frac{J}{Mc}\\quad \Delta = r^2 - r_sr + a^2 \\quad \Sigma = r^2 + a^2 \mathrm{cos}^2 \theta)] [3] |
커-뉴먼 해는 각각의 [math(r_sr)]에 [math(\displaystyle r_sr-r^2_Q, \,\,\, r^2_Q = \frac{GQ^2}{4\pi\epsilon_0c^4})]를 대입하면 된다. ([math(r^2)]은 그대로 둘 것.)
여기에서 [math(\phi)]는 대칭축을 기준으로 한 각도, [math(t)]는 모든 것이 정지(stationary)해 있을 때의 시간이다. [math(r, \theta)]는 기하학적으로 분명한 대응이 어렵다. 슈바르츠실트 시공간에서 [math(r)]은 2-구(2-sphere)의 면적으로 정의할 수 있으나, 커 계량에서는 2-구에 대응하는 계량 요소가 없어서 불가능하다.
이외에, 커 계량의 특징은 다음과 같다.
- static하지 않다. 즉, 시간을 거꾸로 돌렸을 때([math(t \rightarrow -t)]) 다른 계량을 얻는데, 이는 다음 비대각성분이 존재하기 때문이다.
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[math(\displaystyle g_{t\phi} = -ac\frac{r_s r\sin^2\theta}{\Sigma})] |
이는 [math(g_{t\phi} = g_{\phi t})]이므로 상단의 전개식에 [math(1/2)]를 취한 것이다. 반면, [math(t)]와 [math(\phi)]를 동시에 뒤집으면 다시 커 계량을 얻는 것은 커 계량이 [math(\phi)] 방향으로 회전하고 있음을 보여준다.
* stationary하다. 즉, 모든 계량 성분은 시간 [math(t)]에 독립적이다.
* 점근적으로 평평하다(asymptotically flat). 즉 [math(r \rightarrow \infty)]일 때 커 계량은 민코프스키 계량이 된다.
* [math(a = 0)]일 때, 즉 [math(J = 0)](각운동량이 0)일 때 커 해는 슈바르츠실트 해가 된다.
* [math(a)]를 고정한 채 [math(M \rightarrow 0)]이라 두면 커 해는
* stationary하다. 즉, 모든 계량 성분은 시간 [math(t)]에 독립적이다.
* 점근적으로 평평하다(asymptotically flat). 즉 [math(r \rightarrow \infty)]일 때 커 계량은 민코프스키 계량이 된다.
* [math(a = 0)]일 때, 즉 [math(J = 0)](각운동량이 0)일 때 커 해는 슈바르츠실트 해가 된다.
* [math(a)]를 고정한 채 [math(M \rightarrow 0)]이라 두면 커 해는
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[math(\displaystyle ds^2 = -c^2dt^2 + \frac{r^2 + a^2\cos^2\theta}{r^2 + a^2}dr^2 + (r^2 + a^2\cos^2\theta) d\theta^2 + (r^2 + a^2)\sin^2\theta d\phi^2)] |
가 되며, 이는 타원체 좌표(ellipsoidal coordinates) 상의 평평한 시공간이다. 여기에
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[math(\displaystyle \begin{aligned} x&=\sqrt{r^2 + a^2}\sin\theta\cos\phi \\ y&=\sqrt{r^2 + a^2}\sin\theta\sin\phi \\ z&=r\cos\theta \end{aligned})] |
라 설정하면 3차원 직교 좌표계를 얻는다. 이 때 [math(r)]이 상수인 각 등위면은
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[math(\displaystyle \frac{x^2 + y^2}{r^2 + a^2}+\frac{z^2}{r^2} = 1)] |
으로 타원체이며, 특히 [math(r = 0)]일 때에는
|
[math(\displaystyle x^2 + y^2 = a^2\sin^2\theta, \quad z = 0)] |
으로 적도면에 놓인 원점 중심의 원판이 된다. 한편, [math(\theta)]가 상수인 각 등위면은
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[math(\displaystyle \frac{x^2 + y^2}{a^2\sin^2\theta}-\frac{z^2}{a^2\cos^2\theta} = 1)] |
으로 쌍곡면이 된다.
- 대칭성의 측면에서 볼 때 두 개의 킬링 벡터장 [math(\vec{\xi} = \vec{e}_t, \,\,\vec{\eta} = \vec{e}_\phi)]를 찾을 수 있다. 각각은 이 해가 stationary하며, 축 대칭임을 나타낸다. 슈바르츠실트 해에 비해 공간 방향 킬링 벡터장이 2개 부족한 것은 구형 대칭이 아니기 때문이다. 또한, [math(g_{t\phi} \neq 0)]에 의해 [math(\vec{\xi})]는 [math(t)]가 상수인 초곡면에 수직이 아니며, 이 해가 static하지 않음을 보여준다.
3. 주요 특징
3.1. 틀끌림 효과
[math(g_{t\phi} \neq 0)]으로 인해, 입자의 궤도에 새로운 효과가 도입된다. [math(g_{\mu\nu})]가 [math(\phi)]에 독립적이므로 [math(p_{\phi})]는 보존되나,|
[math(p^{\phi} = g^{\phi\mu}p_{\mu} = g^{\phi\phi}p_{\phi} + g^{\phi t}p_{t})] |
가 된다. 또한
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[math(p^{t} = g^{t\mu}p_{\mu} = g^{tt}p_{t} + g^{t\phi}p_{\phi})] |
이다. 각운동량이 [math(0)], 즉 [math(p_{\phi}=0)]인 입자를 생각하자. 정지 질량이 [math(m \neq 0)]일 때 이 입자는
|
[math(\displaystyle p^t = m\frac{dt}{d\tau}, \quad p^{\phi} = m\frac{d\phi}{d\tau})] |
이므로
|
[math(\displaystyle \frac{d\phi}{dt} = \frac{p^{\phi}}{p^t} = \frac{g^{\phi t}}{g^{tt}} \neq 0)] |
를 얻는다. 이는 각운동량이 0이어도 입자가 천체에 대하여 회전함을 의미한다. 자유낙하하는 입자는 저마다 관성계를 갖고 다니므로, 이를 틀끌림 효과(frame-dragging effect)라고 한다.
3.2. 작용권
주어진 [math(r)]에 대하여 적도면 [math(\theta = \pi/2)]에 놓여, [math(\phi)] 방향으로 발사된 광자를 고려한다. 이 광자는 초기 조건에서 [math(d\phi, dt)]만을 0이 아닌 항으로 갖는다. [math(ds^2 = 0)]이므로, 다음을 얻는다.|
[math(\displaystyle 0 = g_{tt}dt^2 + 2g_{t\phi}dtd\phi + g_{\phi\phi}d\phi^2)] [math(\displaystyle \frac{d\phi}{dt} = -\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}} \pm \left[\left(\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}\right)^2 - \frac{g_{tt}}{g_{\phi\phi}}\right]^{\frac{1}{2}})] |
만약, [math(g_{tt} = 0)]이면 이 방정식의 해는
|
[math(\displaystyle \frac{d\phi}{dt} = 0)] 와 [math(\displaystyle \,\,\frac{d\phi}{dt} = -\frac{2g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}})] |
이다. 이 중 두번째 해는 [math(d\phi/dt)]가 [math(a)]와 부호가 같아 천체가 회전하는 방향과 같은 방향으로 발사된 광자를 의미한다. 첫번째 해는 반대쪽으로 발사된 광자로 처음에 좌표계 상에서 정지해 있음을 말해준다. 이처럼, 가장 빠른 광자조차도 천체의 회전방향과 반대쪽으로 발사했을 때 정지하는 것이 전부이므로, 그보다 느린 입자들은 천체와 같은 방향으로 진행할 수밖에 없게 된다. [math(g_{tt} = 0)]인 표면은, 커 시공간의 (사건의) 지평선보다 바깥에 위치하며, 작용권(ergosphere)이라 부른다. 작용권 내부의 입자들은 정지 상태를 유지하는 것이 불가능하다. 이 방정식을 풀면 작용권의 해는
|
[math(\displaystyle r_{\text{ergosphere}} = \frac{r_s + \sqrt{r_s^2 - 4a^2\cos^2\theta}}{2})] |
임을 얻는다. 이 반지름 내부에서는 모든 광자와 입자는 천체와 함께 회전하게 된다.
3.3. 지평선
슈바르츠실트 시공간에서 지평선은 [math(g_{tt} = 0)] 및 [math(g_{rr} = \infty)]인 지점이었다. 커 시공간에서는 [math(g_{tt})]가 작용권을, [math(g_{rr} = \infty)]가 지평선을 각각 나타낸다.(여기에서는 이것이 지평선인 이유를 증명하지 않는다.) 즉 [math(\Delta = r^2 - r_sr + a^2 = 0)]이라 두면, 그 해는 라이스너-노르드스트룀 시공간의 경우와 마찬가지로 [math(r_s>2a, \,\,r_s=2a, \,\,r_s<2a)]의 여부에 따라 달라진다. 만약 [math(r_s>2a)]이면 커 시공간은 두 개의 지평선|
[math(\displaystyle r_{\pm} = \frac{r_s \pm \sqrt{r_s^2 - 4a^2}}{2})] |
을 갖는다.
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|
다음으로 [math(r_s = 2a)]의 경우 극값 지평선(extremal horizon)을 갖는다. 극값 지평선은 물론 좌표 특이점이지만, [math(g_{rr})]은 언제나 양수이기 때문에 넘는다고 해서 블랙홀처럼 특이점을 향해 떨어지는 현상은 일어나지 않는다. 다만 이 때는 [math(r_s)]나 [math(a)] 조금만 바뀌어도 상태가 붕괴될 정도로 불안정하다. [math(r_s < 2a)]의 경우 지평선이 존재하지 않아 노출된 특이점(Naked singularity)을 갖게 된다.
3.4. 특이점
커 시공간의 (곡률) 특이점은 [math(\Sigma = r^2 + a^2\cos^2\theta = 0)]에서 발생한다. 이는|
[math(\displaystyle r=0, \quad \theta = \frac{\pi}{2})] |
일 때만 가능한데, 이 해집합은 보이어-린드퀴스트 좌표계에서 살펴본대로 점이 아닌 고리를 형성한다.
[kerr(1963)]
Roy P. Kerr, "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics", Phys. Rev. Lett. 11 (1963) : 237-238
#
[Newman(1965)]
Newman, E. T., "Metric of a Rotating, Charged Mass", Journal of Mathematical Physics 6 (1965) : 918-919
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[3]
[math(\Sigma)] 대신 [math(\rho^2)]으로도 표기한다.