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상대성 이론 Theory of Relativity |
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1. 개요
relativistic mechanics · 相 對 論 的 力 學상대론적 역학은 아인슈타인의 상대성 이론을 바탕으로 역학을 설명하려는 분야 전체를 일컫는다. 이 문서에서는 주로 특수 상대성 이론이 고전 역학을 어떻게 수정하는지에 초점을 두며, 크게 속도, 가속도 등 운동학과 운동량, 에너지, 힘 등 역학(및 해석 역학)으로 나뉘어져 있다. 고전 역학에서는 갈릴레이 불변성(Galilean Invariance), 즉 물리법칙들이 갈릴레이 변환에 대해 불변할 것을 요구하는 반면 상대론적 역학에서는 로런츠 불변성(Lorentz Invariance), 즉 물리법칙이 로런츠 변환에 대해 불변할 것을 요구한다. 따라서 두 분야에서 제시하는 물리법칙 및 물리량에는 차이가 있을 수밖에 없다. 그렇지만 두 역학 사이에는 긴밀한 관계가 있는데, 상대론적 역학은 물체의 속력이 진공에서의 광속에 비해 매우 작을 때, 물리량들이 고전 역학의 물리량들에 어떻게 대응되는지를 설명한다. 한편 물체의 속력이 진공에서의 광속에 근접하면, 물리량들은 고전 역학과의 차이가 점점 벌어진다.
2. 운동학
2.1. 로런츠 변환
모든 상대론적 역학의 대전제는 물리법칙들이 로런츠 변환에 대해 불변, 혹은 로런츠 불변성을 띠어야 한다는 것이다. 상대론적 운동학 역시 로런츠 변환으로부터 출발한다. 로런츠 변환의 유도법은 굉장히 다양하며 특히 아인슈타인의 두 원리를 사용할 수도 있으나, 여기에서는 이미 아는 것으로 전제한다.
| 로런츠 변환 | 로런츠 역변환 |
| [math(\begin{aligned} x'&=\gamma_{v}(x-vt) \\ y'&=y \\ z'&=z \\ t'&=\gamma_{v}\biggl(t-\frac{v}{c^2}x\biggr) \end{aligned})] | [math(\begin{aligned}x&=\gamma_{v}(x'+vt) \\ y&=y' \\ z&=z' \\ t&=\gamma_{v}\biggl(t'+\frac{v}{c^2}x'\biggr) \end{aligned})] |
여기서 로런츠 인자
| [math( \displaystyle \begin{aligned} \gamma_{v}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2} }}\end{aligned} )] |
| 갈릴레이 변환 |
| [math(\begin{aligned} x'&=x-vt \\ y'&=y \\ z'&=z \\ t'&=t \end{aligned})] |
2.2. 시간 지연과 길이 수축
로런츠 변환에서 가장 기본적인 운동학적 현상으로 시간 지연 및 길이 수축을 유도할 수 있으며, 자세한 내용은 각 항목을 참고한다. 여기에서 [math(\Delta t, \Delta L)]은 모두 시계 또는 막대가 정지해 있을 때 측정한 시간과 거리이며, 고유 시간과 고유 길이라고 부른다.
| 시간 지연 | 길이 수축 |
| [math(\Delta t' = \gamma_v\Delta t)] | [math(\displaystyle \Delta L' = \frac{\Delta L}{\gamma_v})] |
2.3. 속도 덧셈 규칙
세 관성계 [math(\mathcal{O})], [math(\mathcal{O}')], [math(\bar{\mathcal{O}})]을 고려한다. [math(\mathcal{O}')]는 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(+x)]방향으로 [math(v)]의 속력으로, [math(\bar{\mathcal{O}})]는 [math(\mathcal{O}')]에 대하여 [math(\mathbf{u'})]로 움직이고 있고, [math(\bar{\mathcal{O}})]에 대하여 정지한 질량 [math(m)]의 물체가 해당 계의 원점에있다.[math(\mathcal{O}')]에 있는 관측자 [math(\rm B)]가 측정한 [math(m)]의 속도는 [math(\mathbf{u'})]가 될 것이다. 고전적으로는 [math(\mathcal{O})]에 있는 관측자 [math(\rm A)]는 [math(\mathbf{u'}+\mathbf{v})]로 관측하게 될 것이다. 그러나 이 식의 문제는 [math(v \to c)] 혹은 [math(u' \to c)]가 되면, [math(\rm A)]가 관측하게 되는 [math(m)]의 속력은 광속을 넘게된다는 것이다. 따라서 새로운 속도의 덧셈 규칙을 만드는 것이 필요한 상황이다.
[math(\rm A)]가 관측하게 되는 속도를 [math(\mathbf{u})]라 할 때, 다음을 고려하자.
| [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \\ u_{y}&=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \\ u_{z}&=\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{\gamma_{v}({\rm d}x'+v\,{\rm d}t')}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ u_{y}&=\frac{{\rm d}y'}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{{\rm d}z'}{\gamma_{v}\biggl( {\rm d}t'+\dfrac{v}{c^2}\,{\rm d}x' \biggr)} \\ \gamma_{v}& \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^{2}}}} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'}+v}{ 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} } \\ u_{y}&=\frac{\dfrac{{\rm d}y'}{{\rm d}t'}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{\dfrac{{\rm d}z'}{{\rm d}t'}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x'}{{\rm d}t'} \biggr)} \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned}\displaystyle u_{x}&=\frac{u'_{x}+v}{ 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} } \\ u_{y}&=\frac{u'_{y}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} \biggr)} \\ u_{z}&=\frac{u'_{z}}{\gamma_{v}\biggl( 1+\dfrac{u'_{x}v}{c^2} \biggr)} \end{aligned})] |
이것의 역변환은 [math(v \to -v)]로 대치하고, 프라임 붙은 변수와 그냥 변수를 교환하며, 부호를 다음과 같이 바꾼다.
| [math(\begin{aligned}\displaystyle u'_{x}&=\frac{u_{x}-v}{ 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} } \\ u'_{y}&=\frac{u_{y}}{\gamma_{v}\biggl( 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} \biggr)} \\ u'_{z}&=\frac{u_{z}}{\gamma_{v}\biggl( 1-\dfrac{u_{x}v}{c^2} \biggr)} \end{aligned})] |
2.4. 4차원 속도 및 가속도
이제부터는 민코프스키 시공간의 형식화에 맞추어 논의를 전개한다. 4차원 속도(4-속도, Four-velocity)는 다음과 같이 정의된다.| [math(\mathbb V = \dfrac{{\rm d}{\bf x}}{{\rm d}\tau})] |
| [math(\mathbb V = \biggl( \dfrac{{\rm d}(ct)}{{\rm d} \tau},\,\dfrac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d} \tau} \biggr))] |
| [math(\mathbb V = ( \gamma c,\,\gamma {\bf u}))] |
4차원 가속도(4-가속도, Four-acceleration)는 4-속도의 고유 시간에 대한 미분으로 정의된다.
| [math(\mathbb A = \dfrac{{\rm d}{\mathbb V}}{{\rm d}\tau} = \dfrac{{\rm d^2}{\bf x}}{{\rm d}\tau^2})] |
3. 역학
3.1. 질량
물체가 정지해 있을 때 측정한 질량을 정지 질량(rest mass) [math(m_0)]이라고 하며, 여기에 (물체의 속도 [math(v)]에 대하여) 로런츠 인자를 곱한 값을 흔히 상대론적 질량(relativistic mass) [math(m = \gamma_v m_0)]이라고 한다. 상대론적 질량에 광속의 제곱을 곱하면 에너지 [math(E = mc^2 = \gamma m_0c^2)]을 얻는데, 사실 상대론적 질량은 4차원 형식화에서 스칼라가 아니기 때문에 이질적이며, 현재는 거의 사용되지 않는 개념이다. 따라서 앞으로의 논의에서는 정지 질량만을 사용한다. 한편 빛의 정지질량은 0이 되는데, 뒤에서 설명하겠지만 4-운동량의 크기가 언제나 0이기 때문이다.3.2. 운동량
기존의 운동량을 사용하면, 운동량 보존이 되지 않는 문제가 발생하게 된다. 이때, 3차원 속도 [math(\bf u)]에 대하여 다음 식을 운동량으로 정의한다면 상대론적으로도 운동량이 보존됨을 알 수 있고, 더욱이 고전적 극한([math(\gamma \to 1)])에서 기존의 운동량 식으로 환원되는 것을 알 수 있다.| [math({\bf p}=\gamma m {\bf u})] |
| [math( \gamma=\dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}})] |
3.3. 에너지
고전역학에서 사용했던 논리| [math(\begin{aligned} {\bf F}\boldsymbol{\cdot}{\rm d}{\bf r} = {\rm d}T \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} {\rm d}W &= \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t}\boldsymbol{\cdot}{\bf u}\,{\rm d}t \\ &= \frac{\rm d}{{\rm d}t}(m\gamma{\bf u})\boldsymbol{\cdot}{\bf u}\,{\rm d}t \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} \frac{\rm d}{{\rm d}t }(m\gamma{\bf u})\boldsymbol{\cdot}{\bf u} &= mu^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}+ \gamma m\frac{{\rm d}{\bf u}}{{\rm d}t}\boldsymbol{\cdot}{\bf u} \\ &= mu^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}+\frac12\gamma m\frac{{\rm d}(u^2)}{{\rm d}t} \\ &= mc^2{\left(1-\dfrac1{\gamma^2}\right)}\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t} + \frac12\gamma m{\left(\frac{2c^2}{\gamma^3}\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}\right)} \\ &= mc^2\frac{{\rm d}\gamma}{{\rm d}t}\end{aligned})] |
| [math({\rm d}W = mc^2\,{\rm d}\gamma)] |
| [math(\begin{aligned} T &= mc^2\int_1^{\gamma}\,{\rm d}\gamma' \\ &= \gamma mc^2 - mc^2\end{aligned})] |
| [math(T \equiv (\gamma-1)mc^2)] |
| [math(E=T+E_0 = \gamma mc^2)] |
한편,
| [math(\gamma = \dfrac1{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}} \quad \to \quad u^2 = c^2{\left(1-\dfrac1{\gamma^2}\right)})] |
| [math(\begin{aligned} p^2 &= \gamma^2 m^2 u^2 \\ &= \gamma^2 m^2 c^2 \biggl(1-\frac1{\gamma^2} \biggr) \\ &= \frac1{c^2}(\gamma mc^2)^2-m^2c^2 \\ &= \frac{E^2}{c^2}-m^2c^2 \end{aligned})] |
| [math(E^2 = p^2 c^2 +m^2 c^4)] |
운동량과 에너지 역시 4-벡터로 나타낼 수 있다. 4-벡터에 스칼라인 질량을 곱해도 로런츠 공변성은 깨지지 않으므로 4-벡터 운동량(4-운동량, Four-momentum)은 4-속도에 질량을 곱한
| [math(\begin{aligned} \mathbb P &= m\mathbb V \\ &= ( \gamma mc,\,\gamma m {\bf u} ) \\ &= \biggl(\frac Ec, \,{\bf p} \biggr) \end{aligned})] |
4-운동량 [math(\mathbb{P})]는 로런츠 공변성을 만족시킨다. 따라서 다음과 같은 변환이 이루어진다.
| [math(\begin{aligned} E' &=\gamma_{v}(E-vp_{x}) \\ p_{x}'&=\gamma_{v} \biggl(p_{x}-\frac{vE}{c^2} \biggr) \\ p_{y}'&=p_{y} \\ p_{z}'&=p_{z} \end{aligned})] |
상대론적 역학에서는 운동량이 속도보다 더 보편적인 양이다. 빛은 속력이 [math(c)]이기 때문에 그 세계선의 임의의 두 점을 이은 거리가 언제나 0이며, 따라서 4-속도를 정의할 수 없다. 하지만 4-운동량은 정의될 수 있는데, 마찬가지로 그 크기는 0이지만 민코프스키 계량에서는 크기가 0이라고 해서 성분이 모두 0일 필요는 없다. 즉 빛의 4-운동량은 [math(\displaystyle \left(\frac{E}{c}, E\right))]와 같은 형태를 가진다.
3.4. 힘
상대론적 힘, 민코프스키 힘의 공간 성분은 다음과 같이 정의된다.| [math(\begin{aligned} {\bf K} &= \frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}\tau} \\ &= \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}{\bf p}}{{\rm d}t} \\ &= \gamma {\bf F} \end{aligned})] |
4차원 힘(4-힘, Four-force)은 4-운동량의 미분, 혹은 4-가속도에 정지 질량을 곱한 것이다.
| [math({\mathbb F} = \dfrac{{\rm d}{\mathbb P}}{{\rm d}\tau} = m{\mathbb A})] |
3차원 힘 [math(\mathbf{F})]는 어떻게 변환하는가? 우선 [math(\mathbf{F}=\mathbf{\dot{p}})]임을 상기한다. 즉,
| [math(\begin{aligned} F_{x}'&=\frac{{\rm d}p_{x}'}{{\rm d}t'} \\F_{y}'&=\frac{{\rm d}p_{y}'}{{\rm d}t'} \\ F_{z}'&=\frac{{\rm d}p_{z}'}{{\rm d}t'} \end{aligned})] |
이상에서 다음과 같이 구할 수 있다.
| [math( \displaystyle \begin{aligned}\frac{{\rm d}p_{x}'}{{\rm d}t'}&=\frac{ \gamma_{v} \biggl({\rm d}p_{x}-\dfrac{v}{c^{2}}\,{\rm d}E \biggr)}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{\dfrac{{\rm d}p_{x}}{{\rm d}t}-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}E}{{\rm d}t} }{1-\dfrac{v}{c^2}\dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}t }} \\ &=\frac{F_{x}-\dfrac{v}{c^2} \mathbf{F} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{u} }{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\ \\ \frac{{\rm d}p_{y}'}{{\rm d}t'}&=\frac{{\rm d}p_{y}}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{\dfrac{{\rm d} p_{y}}{{\rm d}t }}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{F_{y}}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\ \\ \frac{{\rm d}p_{z}'}{{\rm d}t'}&=\frac{{\rm d}p_{z}}{\gamma_{v}\biggl({\rm d}t-\dfrac{v}{c^2} \,{\rm d}x \biggr)} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{\dfrac{{\rm d} p_{z}}{{\rm d}t }}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}} \\&=\frac{1}{\gamma_{v}}\frac{F_{z}}{1-\dfrac{u_{x}v}{c^2}}\end{aligned} )] |
한편, [math(\mathbf{u}=\mathbf{0})]을 만족할 때,
| [math( \displaystyle \begin{aligned} F_{x}'&=F_{x} \\ F_{y}'&=\frac{F_{y}}{\gamma_{v}}\\ F_{z}'&=\frac{F_{z}}{\gamma_{v}}\end{aligned} )] |
4. 해석역학
4.1. 라그랑지언
특수 상대성 이론에 의하면 운동 에너지는| [math(T = (\gamma-1) mc^2 )] |
| [math(L=T-U)] |
상대성 이론에서도 라그랑주 역학이 성립한다고 생각할 때
| [math(\dfrac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} = p_i)] |
| [math(\dfrac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} = \gamma m\dot x_i )] |
일단 라그랑지언에 넣는 운동 에너지를 [math(T^\ast)]라 하자. 간단한 역학계에서 [math(T^\ast(\dot x_i))], [math(U(x_i))]이므로
| [math(\begin{aligned} \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot x_i} &= \frac{\partial T^\ast}{\partial \dot x_i} \\ &= \gamma m\dot x_i \end{aligned})] |
| [math(\begin{aligned} T^\ast &= -mc^2\sqrt{1-\biggl(\frac{\dot x_i}c \biggr)^2} \\&= -\frac{mc^2}\gamma \\ &\ne T \end{aligned})] |
이상에서 상대론적 라그랑지언은 다음과 같다.
| [math(\mathscr L = -mc^2\sqrt{1-\biggl(\dfrac{\dot x_i}c \biggr)^2} - U)] |
참고적으로 해당 라그랑지언에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하면
| [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}t} {\left[\gamma m \dot x_i \right]} = -\dfrac{\partial U}{\partial x_i}=F_i)] |
4.2. 해밀토니언
특수 상대성 이론에서 해밀토니언은 어떻게 되는가? 이것은 라그랑지언과 해밀토니언의 연결 공식인 르장드르 변환을 사용하면 된다.| [math(\begin{aligned} \mathcal H &= \sum_ip_i \dot x_i- \mathscr L \\ &= \sum_i\frac{{p_i}^2c^2}{\gamma mc^2} -{\left[-\frac{mc^2}{\gamma}-U \right]} \qquad (\because p_i = \gamma m \dot x_i) \\ &=\frac{p^2c^2+m^2c^4}{\gamma mc^2} +U \\ &= \frac{E^2}{\gamma mc^2} +U \\ &= T+U+E_0 \qquad (\because \gamma mc^2=E) \end{aligned})] |