슈바르츠실트 좌표계

상대성 이론 Theory of Relativity
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1. 개요2. 형태3. 유도4. 슈바르츠실트 좌표계의 해석

4.1. 좌표의 해석4.2. 메트릭 텐서의 해석

5. 정규직교화6. 슈바르츠실트 좌표계의 주요 수치

6.1. 메트릭 텐서6.2. 접속 계수6.3. 리치 텐서6.4. 아인슈타인 텐서6.5. 정규직교화 아인슈타인 텐서

1. 개요

물리학에서 슈바르츠실트 좌표계(Schwarzschild coordinates)는 일반 상대성 이론에서 정적인 구형 대칭 시공간(static, spherically symmetric spacetime)을 표현하기 위해 사용되는 시공간 좌표계로, 슈바르츠실트 계량 및 라이스너-노르드스트룀 계량을 유도하고 해석하는 데 활용된다.

2. 형태

일반적인 슈바르츠실트 좌표계 [math((t, r, \theta, \phi))]는 다음과 같이 주어진다.

[math(ds^2 = -e^{2\Phi(r)}\mathrm{d}t^2 + e^{2\Lambda(r)}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

[math(\Phi, \Lambda)]는 각각 [math(r)]만의 함수이며, [math((r, \theta, \phi))]는 기본적으로 구면 좌표계의 의미를 따른다. 하지만 [math(r)]의 의미는 약간 다르게 해석된다.

3. 유도

일반 상대성 이론의 시공간에는 여러 중요한 대칭 조건이 있는데, (1) 구형 대칭(spherical symmetry), (2) 정적(stationary), (3) 정지(static) 조건이 대표적이다. 먼저, 구형 대칭 조건에 대해 살펴보자. 평평한 시공간(특수 상대성 이론)의 구형 대칭 메트릭은 다음과 같이 주어진다.

[math(ds^2 = -\mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2 = -\mathrm{d}t^2 + \mathrm{d}r^2 + r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2))]

여기에서 [math(t, r)]이 상수일 때([math(\mathrm{d}t=\mathrm{d}r=0)])

[math(ds^2 = r^2\mathrm{d}\Omega^2 = r^2(\mathrm{d}\theta^2 + \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2))]

은 이 부분 시공간이 표면적이 [math(4\pi r^2)]인 2-구(2-sphere)임을 말한다.

이제, 이 시공간에 질량에 의한 곡률을 고려하면 각각의 [math((t, r)=(t_0, r_0))]에

[math(ds^2(t_0, r_0) = r_0^2\mathrm{d}\Omega^2)]

이 주어졌다고 할 수 있다. (이는 [math(r)] 좌표를 정의한다. 즉, 구 [math(S^2(t, r))]의 표면적은 [math(4\pi r^2)]이다.) 즉, 우선, 구형 대칭 조건을 유지했을 때 편의상 원점으로부터 뻗어나간 각각의 직선은 [math(\theta, \phi)] 좌표가 변하지 않는다고 가정할 수 있다. 이는 기저 벡터장 [math(\displaystyle \vec{e}_r = \frac{\partial}{\partial r})]이 각 2-구 [math(S^2(t, r))]에 수직임을 말한다. 따라서, 임의의 [math(\vec{e}_S = A\vec{e}_\theta + B\vec{e}_{\phi})]에 대하여, [math(\vec{e}_r \cdot \vec{e}_S = Ag_{r\theta} + Bg_{r\phi} = 0)]이어야 한다. 즉, [math(g_{r\theta} = g_{r\phi} = 0)]이다. 이로부터, 메트릭은 다음과 같이 제한할 수 있다.

[math(ds^2 = g_{tt}\mathrm{d}t^2 + 2g_{tr}\mathrm{d}t\mathrm{d}r + 2g_{t\theta}\mathrm{d}t\mathrm{d}\theta + 2g_{t\phi}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi + g_{rr}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

슈바르츠실트 시공간의 경우 중심 천체가 정적이라고 가정하므로 시공간이 정지해 있다(static)라고 추가로 조건을 부여할 수 있다. 이는, 시간에 따라 공간 성분이 일체 변화하지 않음을 의미한다. 이를 만족시키려면 각각의 [math(g_{\mu\nu})]는 시간에 독립적이며, 기저 벡터장 [math(\displaystyle \vec{e}_t = \frac{\partial}{\partial t})]가 각 3차원 초평면 [math(\displaystyle \Sigma(t))]에 수직이어야 한다. 마찬가지로 하면, [math(g_{tr} = g_{t\theta} = g_{t\phi} = 0)]이다. 이로부터 메트릭은 다음과 같이 정리될 수 있다.

[math(ds^2 = g_{tt}(x^i)\mathrm{d}t^2 + g_{rr}(x^i)\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

이 시공간이 구형 대칭임을 감안하면, 각 [math(g_{\mu\nu})]는 [math(r)]에만 의존해야 한다. 즉, 다음과 같이 함수를 제한할 수 있다.

[math(ds^2 = -e^{2\Phi(r)}\mathrm{d}t^2 + e^{2\Lambda(r)}\mathrm{d}r^2 + r^2\mathrm{d}\Omega^2)]

마지막으로, 이 좌표계는 중심에 중력의 원인이 되는 천체가 있다고 가정하였으므로, 천체로부터 무한히 멀리 떨어진, 즉 [math(r = \infty)]에서는 메트릭 텐서가 특수 상대성 이론에 수렴한다고 할 수 있다. 이 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math(\displaystyle \lim_{r \rightarrow \infty}\Phi(r) = \lim_{r \rightarrow \infty}\Lambda(r) = 0)]

이 조건은 경계 조건(boundary condition)의 일종으로 점근적 평탄(Asymptotically flat) 조건이라고 한다.

이 메트릭은 일반적인 "정지된" 구형 대칭 시공간에 모두 적용되며, 대전된 천체를 다루는 라이스너-노르드스트룀 시공간에도 적용할 수 있다. 이것을 슈바르츠실트 좌표계(Schwarzschild Coordinates)라 한다.

빠르게 회전하는 천체 주위의 시공간인 커 시공간이나 커-뉴먼 시공간에서는 [math(\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi)] 성분이 살아있어 (즉, 시간에 따라 [math(\phi)] 방향으로 공간이 회전한다.) static하다고 말할 수 없다. 그러나 이 역시 시공간 자체는 시간에 의존하지 않는다는 약간 느슨한 조건을 만족시키므로 "stationary"라고 말한다. (이 둘을 표현하는 좌표계를 보이어-린드퀴스트 좌표계(Boyer–Lindquist coordinates)라 한다.)

일반적으로, 시간 방향의 킬링 벡터장(Killing vector field)[1]이 존재할 경우 stationary하다고 하며 이 킬링 벡터장이 각각의 공간꼴 초곡면(spacelike hypersurface)에 수직일 경우 static하다고 말한다. stationary는 "정적 시공간", static은 "정지 시공간"이라고 해석하면 의미가 얼추 통한다. (영어 단어도 그렇지만 한글 단어도 두 용어가 분명하게 구분되지는 않는다. 약속의 문제.)

4. 슈바르츠실트 좌표계의 해석

일반 상대성 이론에서는 임의적인 좌표를 사용할 수 있으며, 좌표의 이름 자체는 우리에게 어떤 것도 알려주지 못한다. 예를 들어 슈바르츠실트 해에 사용된 [math(t, r, \theta, \phi)]가 우리가 생각하는 의미, 즉 각각 시간, 반지름, z축에 대한 각도, xy 평면에서의 각도를 그대로 반영할 이유는 없으며, 단순히 비슷한 작용을 하는 이름을 가져온 것일 수 있다. 따라서 각 좌표의 물리적 의미에 대해 조심스럽게 접근할 필요가 있는데, 이는 물리적으로 측정 과정을 구체화함으로써 살펴볼 수 있다. 먼저 좌표의 측정법을 세운 뒤, 메트릭 텐서의 각 성분을 측정함으로써 좌표와 물리적인 시간 및 거리의 관계를 알아볼 수 있다.

4.1. 좌표의 해석

1. [math(r)]의 측정

(1) [math(\theta, \phi)]는 [math(t, r)]이 고정되었을 때 각각 2차원 구면 [math(S(t, r))](물론, [math(t)]에 대해선 독립적.)을 만든다. [math(ds^2 = r^2\mathrm{d}\Omega^2)]이기 때문.

(2) 구면 [math(S(t, r))]의 표면적은 [math(\displaystyle A = \int(r \mathrm{d}\theta)(r \sin \theta \mathrm{d}\phi) = 4\pi r^2)]이다.

(3) 따라서, 주어진 점 [math(\rm{P})]에서 [math(r(\rm{P}))]는, [math(\rm{P})]를 통과하는 동심구 [math(S(\rm{P}))]의 면적 [math(A(\rm{P}))]을 잰 다음, 다음과 같이 계산하면 된다.

[math(\displaystyle r(\mathrm{P}) = \left(\frac{A(\rm{P})}{4\pi}\right)^\frac{1}{2})]

2. [math(t)]의 측정

(1) 각각의 점에 [math(r, \phi, \theta)]가 상수인 세계선을 따르는 레이더 장치(신호를 발생시키고, 돌아오는 신호를 탐지함)를 설치한다. 이는 각 장치에서 발사한 신호가 이웃한 장치, 혹은 충분히 멀리 떨어진 평평한 지점에 위치한 장치로부터 반사되어 돌아오는 시간이 항상 일정하도록 장치의 속도를 조정함으로써 가능해진다. 또는, 돌아오는 신호가 도플러 효과를 갖지 않는다고 해석해도 된다.

(2) 기준이 되는 시계를 중심 천체에서 무한히 멀리 떨어진 곳에 위치시킨다. 이 시계는 고유 시간을 재며, 각 1초마다 신호를 발생시킨다. 각 점에 위치한 관찰자는 기준 시계의 시간에 자신의 시간을 맞추게 되는데, 이는 기준 시계에서 자신의 시계로 신호가 도달하는 데 걸리는 시간을 측정하여 비교함으로써 가능해진다.

(3) 이 때, 신호가 기준 시계에서 각 점의 시계로 가는 데 걸리는 시간과 그 반대의 시간은 같다고 가정한다. 이는 [math(g_{tr} = g_{t\theta} = g_{t\phi} = 0)]과 관련있다.

(4) 이제, 각 점 [math(\rm{P})]에 위치한 시계는 [math(t(\rm{P}))]를 측정할 수 있다.

4.2. 메트릭 텐서의 해석

1. [math(\Lambda)]의 측정

관찰자 1은 [math((t, r_1, \theta, \phi))], 관찰자 2는 [math((t, r_2, \theta, \phi))]에 놓여 있다고 하면 두 관찰자 사이의 거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

[math(\displaystyle \Delta s = \int^{r_2}_{r_1}ds = \int^{r_2}_{r_1}e^{\Lambda}dr )]

즉, [math(r)]은 각 동심구 [math(S^2(r))]의 표면적과는 유클리드 기하학의 관계를 갖고 있으나, 중심을 향하는 방향으로는 일반적으로 말하는 거리의 의미를 담지 못한다.

2. [math(\Phi)]의 측정

[math(g_{00} = e^{\Phi(r)})]은 빛의 적색편이와 관련있다. 슈바르츠실트 계량의 적색편이 문단 참고.

슈바르츠실트 좌표계 [math((r, \theta, \phi))]에 대하여 정지한 (4-속도가 [math(\vec{e}_t)]와 나란한) 관찰자의 4-속도 [math(\vec U)]를 구한 후, 빛의 4-운동량 [math(\vec p)]를 내적하면 주어진 [math(r)]에 놓인 관찰자가 받아들이는 빛의 에너지를 구할 수 있다.

[math(E_r = -p_{0}U^{0} = e^{-\Phi}E)]

를 얻는다. ([math(p_{0})]은 보존된다.)

한편 [math(r = R)]에 놓인 관찰자 1이 쏜 빛을 [math(r = \infty)]에 놓인 관찰자 2가 받아들였을 때, 적색편이의 값은

[math(\displaystyle 1+z =\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{E_1}{E_2} = e^{-\Phi})]

이다. 이로부터,

[math(\displaystyle z = e^{-\Phi} - 1 \approx -\Phi)]

를 얻게 된다. 일반적으로 [math(\Phi)]는 음수이므로(사실, 슈바르츠실트 계량에서는 고전적 중력 퍼텐셜과 같다.), 중심 별에서 벗어났을 때 빛은 에너지를 잃고 적색편이됨을 알 수 있다. 고전 역학적으로는 빛이 중력 퍼텐셜의 차이만큼 에너지를 잃는다고 해석할 수 있는데, 이는 사실 (일차) 근사값이다.

5. 정규직교화

아인슈타인 텐서 등의 계산을 편하게 만들기 위해서 좌표계 기저를 정규직교기저로 바꾸기도 한다. 단, 이렇게 변형한 기저는 좌표계를 이루지 못하므로 좌표 변환이 아니라 각 점에서 시행하는 기저 변환으로 보는 것이 옳다. 이에 따른 아인슈타인 텐서 성분 값은 아래 참고.

벡터 : [math(\displaystyle \vec{e}_{\hat t} = e^{-\Phi}\frac{\partial}{\partial t}, \quad \vec{e}_{\hat r} = e^{-\Lambda}\frac{\partial}{\partial r}, \quad \vec{e}_{\hat \theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}, \quad \vec{e}_{\hat \phi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi})]

1형식 : [math(\displaystyle \omega^{\hat t} = e^{\Phi}\mathrm{d}t, \quad \omega^{\hat r} = e^{\Lambda}\mathrm{d}r, \quad \omega^{\hat \theta} = r\mathrm{d}\theta, \quad \omega^{\hat \phi} = r\sin\theta\mathrm{d}\phi)]

6. 슈바르츠실트 좌표계의 주요 수치

6.1. 메트릭 텐서

[math(\displaystyle \begin{aligned} (g_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \displaystyle e^{2\Phi}&0&0&0 \\ 0&e^{-2\Lambda}&0&0 \\ 0&0&r^2&0 \\ 0&0&0&r^2\sin^2\theta \end{pmatrix} \end{aligned})]

[math(\displaystyle \begin{aligned} (g^{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \displaystyle e^{-2\Phi}&0&0&0 \\ 0&e^{2\Lambda}&0&0 \\ 0&0&r^{-2}&0 \\ 0&0&0&r^{-2}\sin^{-2}\theta \end{pmatrix} \end{aligned})]

6.2. 접속 계수

[math(\begin{aligned} \Gamma^{0}_{\mu\nu} &= \left(\begin{array}{cccc} 0 \;\; && \Phi' \;\; && 0 \;\; && 0 \\ \Phi' \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) \\ \\ \Gamma^{1}_{\mu\nu} &= \left(\begin{array}{cccc} -\Phi'e^{2(\Phi - \Lambda)} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && \Lambda' \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -re^{-2\Lambda} \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -r\sin^2 \theta e^{-2\Lambda} \end{array} \right) \\ \\ \Gamma^{2}_{\mu\nu} &= \left(\begin{array}{cccc} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \end{array} \right) \\ \\ \Gamma^{3}_{\mu\nu} &= \left(\begin{array}{cccc} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \\ 0 \;\; && 1/r \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \end{array} \right) \end{aligned})]

6.3. 리치 텐서

[math(\displaystyle \begin{aligned} (R_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \displaystyle e^{2\Phi - 2\Lambda}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 +\frac{2}{r}\frac{d\Phi}{dr} - \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr}\right]&0&0&0 \\ 0& \displaystyle -\frac{d^2\Phi}{dr^2} - \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{2}{r}\frac{d\Lambda}{dr} + \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr}&0&0 \\ 0&0&\displaystyle 1-e^{-2\Lambda} +re^{-2\Lambda}\left(\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Phi}{dr}\right)&0 \\ 0&0&0&\displaystyle \sin^2\theta\left[1-e^{-2\Lambda} +re^{-2\Lambda}\left(\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Phi}{dr}\right)\right] \end{pmatrix} \end{aligned})]

6.4. 아인슈타인 텐서

[math(\displaystyle \begin{aligned} (G_{\mu\nu}) = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{r^2}e^{2\Phi}\frac{d}{dr}\left[r\left(1-e^{-2\Lambda}\right)\right]&0&0&0 \\ 0& \displaystyle -\frac{1}{r^2}e^{2\Lambda}\left(1-e^{-2\Lambda}\right) + \frac{2}{r}\frac{d \Phi}{dr}&0&0 \\ 0&0&\displaystyle r^2e^{-2\Lambda}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{d\Phi}{rdr} - \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Lambda}{rdr}\right]&0 \\ 0&0&0&\displaystyle r^2\sin^2\theta e^{-2\Lambda}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{d\Phi}{rdr} - \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Lambda}{rdr}\right] \end{pmatrix} \end{aligned})]

6.5. 정규직교화 아인슈타인 텐서

[math(\displaystyle \begin{aligned} (G_{\hat{\mu}\hat{\nu}}) = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[r\left(1-e^{-2\Lambda}\right)\right]&0&0&0 \\ 0& \displaystyle -\frac{1}{r^2}\left(1-e^{-2\Lambda}\right) + \frac{2}{r}e^{-2\Lambda}\frac{d \Phi}{dr}&0&0 \\ 0&0&\displaystyle e^{-2\Lambda}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{d\Phi}{rdr} - \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Lambda}{rdr}\right]&0 \\ 0&0&0&\displaystyle e^{-2\Lambda}\left[\frac{d^2\Phi}{dr^2} + \left(\frac{d\Phi}{dr}\right)^2 + \frac{d\Phi}{rdr} - \frac{d\Phi}{dr}\frac{d\Lambda}{dr} - \frac{d\Lambda}{rdr}\right] \end{pmatrix} \end{aligned})]

[1] [math(\mathcal{L}_V g_{\mu\nu} = 0)]인 벡터장 [math(V)]