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카탈랑 다면체 Catalan Solids |
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마름모십이면체 (↔ 육팔면체) |
마름모삼십면체 (↔ 십이이십면체) |
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삼방사면체 (↔ 깎은 정사면체) |
삼방팔면체 (↔ 깎은 정육면체) |
사방육면체 (↔ 깎은 정팔면체) |
삼방이십면체 (↔ 깎은 정십이면체) |
오방십이면체 (↔ 깎은 정이십면체) |
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육방팔면체 (↔ 깎은 육팔면체) |
육방이십면체 (↔ 깎은 십이이십면체) |
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연꼴이십사면체 (↔ 마름모육팔면체) |
연꼴육십면체 (↔ 마름모십이이십면체) |
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†
오각이십사면체 (↔ †다듬은 육팔면체) |
†
오각육십면체 (↔ †다듬은 십이이십면체) |
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()안의 다면체는 해당 카탈랑 다면체의 쌍대 다면체인
아르키메데스 다면체 †는 카이랄성 다면체(거울상이 원본과 같지 않은 다면체) |
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카탈랑 다면체 중 하나인 마름모삼십면체의 모습.
1. 개요
마름모三十面體, Rhombic triacontahedron(복수는 -hedra)아르키메데스 다면체 중 하나인 십이이십면체의 쌍대다면체. 면들이 모두 마름모형이기 때문에 이런 이름이 붙었다. 마름모의 예각의 경우 한 꼭지점에 5개, 둔각의 경우 한 꼭지점에 3개씩, 예각은 예각끼리, 둔각은 둔각끼리 모인다. 면의 형태 V3.5.3.5[1]이다.
면추이 도형이므로, 이론상으로 던졌을 때 각 면이 위에 올 확률이 모두 같기 때문에 공평한 삼십면 주사위로도 사용할 수 있으며, 삼십면체 중 가장 많이 볼 수 있는 주사위이다.
2. 마름모삼십면체에 대한 정보
| 꼭지점(vertex, 0차원) | 32개 |
| 모서리(edge, 1차원) | 60개 |
| 면(face, 2차원) | 마름모 30개 |
| 쌍대 | 십이이십면체 |
| 이면각 | 144º |
한 변의 길이가 [math(a)]인 마름모삼십면체가 있을 때
마름모(면)의 긴 대각선의 길이 = [math(a\sqrt{\dfrac{10+2\sqrt5}{5}})][2]
마름모(면)의 짧은 대각선의 길이 = [math(a\sqrt{\dfrac{10-2\sqrt5}{5}})]
한 면의 넓이 = [math(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}a^2 )]
내접구의 반지름 = [math(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}a)]
겉넓이(surface area) = [math(12\sqrt5a^2)]
부피(volume) = [math(\displaystyle4\sqrt{5+2\sqrt5}a^3)]≈12.31073a^3
2.1. 다른 도형들과의 관계
- 십이이십면체와 쌍대(Dual)[3] 도형이다.
- 마름모의 둔각 3개가 모인 꼭짓점 20개를 이으면 정십이면체가 된다.
- 마름모의 예각 5개가 모인 꼭짓점 12개를 이으면 정이십면체가 된다.
- 위 방법으로 만든 정십이면체와 정이십면체를 겹치면 서로의 모서리 중앙 부분이 완전히 겹치는 복합체(compound)가 된다.
3. 여담
마름모삼십면체가 한 변에 3개가 모이면 콤팩트 쌍곡벌집이 된다. 이것의 쌍대는 {5,3,4}를 alternative 식으로 응용한 벌집이 된다.
[1]
한 꼭지점에 모이는 면의 구성이
3.5.3.5인 다면체의 꼭지점을 다면체 중심과 꼭지점을 이은 직선에 수직한 면으로 정확히 잘라내었을 때 생기는 단면의 쌍대 다각형과 같다는 뜻이다.
[2]
짧은 대각선의 정확히
(1+√5)/2배, 즉 짧은 대각선과 황금비를 이룬다. 따라서 마름모삼십면체의 전개도는
작도할 수 있다.
[3]
어떤 다면체의 꼭지점을 면으로, 면을 꼭지점으로 대체한 다면체를 쌍대 다면체라고 한다.