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입자물리학 Particle Physics |
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1. 개요
Dyson Series다이슨 급수는 양자역학과 양자장론에서 시간의존 섭동이론을 설명하는데 사용되는 무한 급수이다. 이 급수는 입자 상호작용의 묘사들[1]을 섭동적으로 전개할때 등장하며, 섭동 전개된 합은 파인만 다이어그램으로 나타낼수 있다.
2. 소개
양자장론은 입자의 역학적 특징들과 상대론적 특징을 두루 기술하기 위해 장의 형식이 추상화되었고, 장의 상호작용을 자세하게 보기 위해 섭동을 자주 사용되는 측면이 부각되었다. 특히 상호작용의 상대론적인 묘사로부터 얻어지는 해밀토니언 연산자의 섭동 자체는 양자 전기역학를 증명하는 중요한 형식으로 슈윙거와 도모나가에 의해 이미 이용이 되었다.다이슨 급수는 파인만 경로적분에서의 해밀토니언 연산자의 적분연속체적 특성을 슈윙거 섭동에 대입한 것으로, 섭동적으로 표현가능한 상호작용을 기술하기 적합한 형태를 가지고 있다.
현상론적으로는 산란과 제동방사(bremsstrahlung)의 형식적 기반은 산란행렬으로, 이것을 표현하기 위한다.
3. 정의
3.1. 시간 의존 섭동 이론
양자계에서 시간 의존 해밀토니언 [math(H(t) = H_0 + V(t))]이 주어졌을 때, 다이슨 급수는 시간 발전 연산자 [math(U(t, t_0))]를 다음과 같이 표현한다:[math(U(t, t_0) = \mathcal{T} \exp \left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t H(t') dt' \right))]
여기서:
- [math(H_0)]: 자유 해밀토니언 (non-interacting Hamiltonian)
- [math(V(t))]: 시간 의존 섭동 항 (time-dependent perturbation term)
- [math(\mathcal{T})]: 시간 순서 연산자 (time-ordering operator)
3.2. 다이슨 급수의 전개
시간 순서 연산자를 확장하여 다이슨 급수를 다음과 같이 표현할 수 있다:[math(U(t, t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t V(t_1) dt_1 + \left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 V(t_1) V(t_2) + \cdots)]
이는 무한 급수 형태를 가지며, 각각의 항은 섭동 차수를 나타낸다.
4. 성질
4.1. 선형성
다이슨 급수는 선형성을 가진다. 즉, 초기 상태의 선형 결합은 시리즈 항의 선형 결합으로 변환된다:[math(U(t, t_0)(a|\psi_1\rangle + b|\psi_2\rangle) = aU(t, t_0)|\psi_1\rangle + bU(t, t_0)|\psi_2\rangle)]
4.2. 시간 순서 연산자의 역할
시간 순서 연산자는 급수의 각 항이 시간 순서대로 정렬되도록 보장한다. 이는 섭동 이론에서 상호작용의 순서를 정확히 유지하는 데 필수적이다.4.3. 수렴성
다이슨 급수의 수렴성은 섭동 항 [math(V(t))]의 크기와 계의 성질에 따라 달라진다. 일반적으로 고차 항은 작아지지만, 고전적인 조화진동에서 운동량 성분은 복소적인 섭동항을 발산시키는 원인이 된다.5. 예시
5.1. 1차 섭동
1차 섭동항은 다음과 같이 주어진다:[math(U^{(1)}(t, t_0) = -\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t V(t_1) dt_1)]
이는 섭동이 작은 경우에 주된 기여를 한다.
5.2. 2차 섭동
2차 섭동항은 다음과 같다:[math(U^{(2)}(t, t_0) = \left(\frac{-i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 V(t_1)V(t_2)]
이는 두 번의 상호작용을 고려한 결과를 나타낸다.