|
|
| M.C. Escher, <원의 극한 IV>, 1960. |
1. 개요
雙 曲 tessellation / hyperbolic tessellation2차원 쌍곡 공간에서 정의되는 테셀레이션으로, 쌍곡 타일링 등으로도 불린다.
평면 테셀레이션이 평면 다각형을 이용해 평면을 가득 채우듯, 쌍곡 테셀레이션은 쌍곡다각형을 이용해 쌍곡 공간을 채우는 테셀레이션이다. 주로 푸앵카레 원반 모델을 이용해서 나타낸다.
평면 다각형은 다각형의 크기가 커져도 내각의 크기는 그대로고[1], 구면 다각형은 크기가 커지면 내각의 크기가 비례하여커진다. 반면 쌍곡 다각형은 크기가 커지면 내각의 크기가 점점 작아지는 반비례하며, 다각형의 크기가 무한대로 발산하면 내각의 크기도 0으로 수렴한다. 다각형의 크기가 커질수록 내각이 줄어들기 때문에, 쌍곡 공간에서는 정삼각형 7개와 같이 평면상에서는 내각의 합이 360º를 초과하는 조합도 얼마든지 이어붙일 수 있다.
1.1. 정규 쌍곡 테셀레이션
크기가 커질수록 내각이 무한히 작아지는 쌍곡다각형의 성절 때문에, {3,3}( 정사면체), {3,4}( 정팔면체), {3,5}( 정이십면체), {4,3}( 정육면체), {5,3}( 정십이면체) 5가지만 존재하는 정다면체[2], {3,6}( 정삼각형 테셀레이션), {4,4}( 정사각형 테셀레이션), {6,3}( 정육각형 테셀레이션)만 존재하는 평면 정규 테셀레이션과 달리, 쌍곡 테셀레이션은 무수히 많다. {p,∞}, {∞,q}와 같은 무한테셀레이션도 가능하며, 무한각형을 무한히 이어붙이는 {∞,∞}과 같은 테셀레이션도 존재한다.[math(\displaystyle \frac{p-2}{p} \times q>2)][3]일 때, [math(\left\{ p,q \right\})]인 쌍곡 테셀레이션이 존재한다.(p,q는 3 이상의 정수 또는 무한대)
1.1.1. 종류
종류가 무한하며, {p,q}는 'q차 정p각 타일링'(order-q regular p-gon tiling)[4]이라고 부른다.- p가 ∞일 경우 무한각형(apeirogon), q가 ∞일 경우 infinite order 라고 부른다.
| 콤팩트 | 파라콤팩트 | |||||||
| 콤팩트 | {3,7} | {3,8} | ⋯ | {3,∞} | ||||
| {4,5} | {4,6} | {4,7} | {4,8} | ⋯ | {4,∞} | |||
| {5,4} | {5,5} | {5,6} | {5,7} | {5,8} | ⋯ | {5,∞} | ||
| {6,4} | {6,5} | {6,6} | {6,7} | {6,8} | ⋯ | {6,∞} | ||
| {7,3} | {7,4} | {7,5} | {7,6} | {7,7} | {7,8} | ⋯ | {7,∞} | |
| {8,3} | {8,4} | {8,5} | {8,6} | {8,7} | {8,8} | ⋯ | {8,∞} | |
| ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | |
| 파라콤팩트 | {∞,3} | {∞,4} | {∞,5} | {∞,6} | {∞,7} | {∞,8} | ⋯ | {∞,∞} |
1.2. 기타
- 쌍곡 테셀레이션을 무려 트위스티 퍼즐로 만들어 버린 프로그램이 존재한다. 난이도는 쌍곡 테셀레이션이 유클리드 대칭과 전혀 다른 대칭성을 지닌 만큼 매우 높다. 쌍곡 테셀레이션 뿐만 아니라 유클리드 테셀레이션과 다른 다면체들도 사용 가능하므로 평범한 트위스티 퍼즐에 질렸다면 한 번 시도해볼만 하다.[5]
- 평면 테셀레이션을 3차원 이상으로 확장시킨 허니컴이 있듯, 쌍곡 테셀레이션을 3차원으로 확장시킨 쌍곡 허니컴이 있다.
[1]
이 때문에
닮음은
유클리드 기하학에서만 정의된다.
[2]
구면 테셀레이션과 정다면체는
위상동형이고 앞선 5개의 정다면체도 구면 테셀레이션으로 표현 가능하나, 정다면체와 구면 테셀레이션은 엄연히 다르다. 구면에서는 유클리드 기하학에서는 정의되지 않는
이각형도 이어붙여 만들 수 있기 때문이다. 따라서 정다면체는 5개지만, 구면 테셀레이션은 {2,3}, {2,4}, ..., {2,∞} 및 그 쌍대를 포함하므로 무수히 많다.
[3]
좌변이 2이면 유클리드 테셀레이선, 2보다 작으면 구면 테셀레이션 또는
정다면체가 된다.
[4]
단, p가 4(정사각형)일 경우 square
[5]
실제로 이 프로그램의 일부 퍼즐은 WCA 공식 종목과 구조가 완전히 동일한 퍼즐도 있다. 대표적으로 {8,3} 6색 테셀레이션과 {32,3} 6색 테셀레이션은
3x3x3 큐브와 구조가 완전히 동일하며, {10,3} 12색 테셀레이션은
메가밍크스와 구조가 완전히 동일하다.