최근 수정 시각 : 2024-10-24 19:33:15

대칭수

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1. 개요2. 형성3. 성질4. 관련 문서5. 20000보다 작은 대칭수 목록


對 稱 數 / 回 文 數

1. 개요

거꾸로 읽어도 똑바로 읽어도 같은 수. 이 부류에 해당하는 수들은 11, 101, 1001, 10001 등이 있다. 회문수나 거울수, 지폐 수집에서는 레이더라고도 한다.
한 자리 수는 항상 대칭수이다.

2. 형성

1984년 한 미국에 잡지에서 대칭수를 만드는 흥미로운 알고리즘을 제시하여 화제가 된 적 있는데 그 방법은 아래와 같다.
  1. 숫자를 아무거나 선택한다.
  2. 그 수를 거꾸로 뒤집어 원래 수와 합한다.
  3. 두 수를 더한 결과가 대칭수가 아닐 경우 2를 다시 한다. 대칭수가 나오면 알고리즘을 종료한다. ||
예시: 625
625 + 526 = 1151
1151 + 1511 = 2662

이 방법을 거치면 대부분의 수들은 대칭수가 되지만, 이 과정을 아무리 많이 반복해도 대칭수가 되지 않는 수가 있다면 이를 라이크렐 수라 한다. 라이크렐 수가 존재하는지는 아직 밝혀지지 않았고, 현재까지 라이크렐 수라고 추정되는 가장 작은 자연수는 196이다. 196은 이 중 가장 작은 라이크렐의 후보이다.[1]

196이 라이크렐 수임이 증명되지 않았고, 196이 라이크렐 수라면 691, 196에 99의 배수를 더하고, 일의 자리가 0에서 9로 바뀌지 않는 수들 (295, 394, 493, 592, 790), 196+691=887과 이를 거꾸로 뒤집은 788, 그리고 788+887 등과 같이 196을 포함해 196에서 회문 알고리즘을 적용시켜 나온 수와 이 수를 거꾸로 뒤집은 수들도 라이크렐 수다.

3. 성질

이 중 11이나 101처럼 대칭수이면서 소수인 수는 회문 소수라고 한다. 회문 소수가 아니면서 거꾸로 뒤집었을 때, 여전히 소수가 되는 소수는 치환 가능 소수라고 한다. 물론 모든 회문 소수가 아닌 재배열 가능 소수는 모두 치환 가능 소수이다. (다만 주어진 진법에서의 단위 반복 소수[2] [3] 는 모두 회문 소수이기 때문에 제외한다) 라고 부른다. 이는 소수와도 관련이 있는데, 주어진 진법에서 각 자리 숫자의 합을 한 자리 수까지 반복했을 때, 나타나는 수들도 전부 소수인 소수를 말한다. 물론 네 자리 이상이 되면 해당 소수들을 각 자리 숫자의 합으로 가지는 수가 모두 100자리가 넘기에 매우 커져 나타내기는 힘들겠지만 말이다.

짝수 자릿수를 갖는 모든 대칭수는 반드시 11을 약수로 갖고 있다. 고로 짝수의 자릿수를 갖는 회문 소수는 11이 유일하다. 왜냐하면 홀수 자릿수의 합과 짝수 자릿수의 합이 같거나 차가 11의 배수면 11의 배수가 되는데, 모든 짝수 자리 대칭수는 이 조건을 만족하기 때문이다. 다만 홀수 합성수의 자릿수를 갖는 회문 소수는 존재한다.[4]

또한 14641까지는 11의 제곱수는 모두 회문수이다. 이는 다른 기수법에서도 마찬가지로 x진법이라 할 때, x+1(x진법 표기로는 11x)에 적용되며 중심 부분에 x보다 크거나 같은 게 있어서 올림이 생기는 경우는 제외한다. 또한 y진법에서는 1이 x개 [5] 만큼 늘어선 수를 제곱하면 y진법 표기로 1부터 x까지 하나씩 커지다가 다시 작아지는 형태의 대칭수가 된다.

어떤 자연수를 세제곱 했을 때, 그 결과가 대칭수가 되면, 세제곱 대칭수(cube pelindrome number)라고 하는데 목록을 뽑아보면 다음과 같아진다.
[math(1^3=1)]
[math(2^3=8)]
[math(7^3=343)]
[math(11^3=1331)]
[math(101^3=1030301)]
[math(111^3=1367631)]
[math(1001^3=1003003001)]
[math(2201^3=10662526601)]
[math(10001^3=1000300030001)]
[math(10101^3=1030607060301)]
과 같이 되는데, 지금까지 알려진 바로는 2201이 유일하게 세제곱 했을때 대칭수가 되면서 자기 자신은 대칭수가 아닌 수 이다.

4. 관련 문서

5. 20000보다 작은 대칭수 목록



[1] 이와 관련된 것이 196 회문 문제. [2] 다만 n이 2 이상의 자연수라고 할 때, m이 n제곱수이면 m진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 소수는 없거나 딱 하나가 된다. 따라서 m의 소인수분해에서 각 소인수가 2 이상인 것 중에 지수가 가장 작은 것이 다른 소인수가 곱해진 그 어떤 지수의 약수가 되지 않아야 m진법에서 1이 늘어선 형태를 하고 있는 소수 ( 단위 반복 소수)의 개수가 2개 이상이 된다. 또한 p가 n-1의 소인수이면 n진법에서 1이 p개만큼 늘어선 수는 무조건 n-1의 소인수인 p의 배수가 되기 때문에 소수가 될 수 없으므로 n진법 표현에서 1이 p개만큼 늘 어선 수가 소수라면 p는 소수이며, n을 p로 나눈 나머지가 1이 아닌 경우이어야 한다. 물론 그 역은 성립하지 않으니 1이 n-1의 소인수가 아닌 소수 p개만큼 늘어서있는 수가 항상 소수가 되지는 않는단 얘기다. [3] 일단 주어진 진법에서 현재까지 발견된 단위 반복 소수들과 그 개수만 생각하며, 2진법은 메르센 소수로, 2021년 현재 51개가 알려져 있다. p가 소수일 때, n진법에서 p개만큼 늘어선 수가 소수가 되는 경우에 해당하는 자연수 n이나 n진법에서 1이 k개 만큼 늘어선 수가 소수임을 만족하게 하는 소수 k의 값에 해당하는 수의 목록도 만들어볼 수 있겠다. 특히 2진법이나 10진법이 아닌 다른 진법. 그 외에도 재배열 가능 소수, 왼편/오른편/양편 절단 가능 소수 및 양면 소수 및 이들의 개수와 가장 큰 것의 자릿수 개수도 10진법 이외의 다른 기수법에서도 생각할 수 있겠다. [4] 가장 작은 9자리 회문 소수는 100030001이다. [5] 단, 0<x<y인 자연수일 때만 해당되며, x가 y보다 크거나 같을 때는 x개만큼 1이 늘어선 수를 제곱하면 받아올림이 생겨서 성립이 안 된다.

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