1. 개요
始 作/Initial Object시작은 범주론에서 모든 대상을 향하는 고유한 사상이 존재하는 대상을 의미한다. 시작은 끝의 쌍대 개념으로, 범주의 구조적 성질을 분석하고 정의하는 데 핵심적인 역할을 한다. 시작은 극한의 특별한 경우로 간주되며, 범주 이론에서 일반적인 성질과 대칭성을 연구하는 데 필수적인 개념이다.
2. 정의
2.1. 시작의 정의
범주 [math(C)]에서 시작(initial object) [math(I)]는 다음 조건을 만족하는 대상이다:- 임의의 대상 [math(X \in C)]에 대해, [math(I)]에서 [math(X)]로 가는 사상 [math(f : I \to X)]이 유일하게 존재한다.
시작의 정의를 기호로 표현하면 다음과 같다:
[math(\forall X \in C, \exists! f : I \to X)]
[math(\forall X \in C, \exists! f : I \to X)]
2.2. 보편 성질
시작은 다음과 같은 보편 성질을 만족한다:- [math(I)]는 모든 대상으로의 유일한 사상을 가지는 "최초의 대상"이다.
- 시작의 존재는 범주 [math(C)]의 구조적 특성을 설명하는 데 중요한 요소이다.
3. 예시
3.1. 집합의 범주 [math(Set)]
집합의 범주에서 시작은 공집합이다. 예를 들어, 집합 [math(I = \emptyset)]은 시작으로 작동하며, 모든 집합 [math(X)]으로의 유일한 함수는 다음과 같이 정의된다:[math(f : \emptyset \to X)]는 항상 유일하다 (정의역이 비어 있으므로).
3.2. 위상 공간의 범주 [math(Top)]
위상 공간의 범주에서 시작은 공집합 위에 자명한 위상을 부여한 공간이다. 이 공간에서 모든 위상 공간으로의 연속 함수는 유일하다:[math(f : \emptyset \to X \text{ is continuous})]
3.3. 군의 범주 [math(Grp)]
군의 범주에서 시작은 자명군 [math(\{e\})]이다. 자명군은 모든 군 [math(G)]으로 가는 유일한 군 준동형 [math(f : \{e\} \to G)]을 가진다.3.4. 대수적 구조의 범주
환, 모노이드, 가군 등 대수적 구조의 범주에서 시작은 자명 구조를 가지는 대상이다. 예를 들어, 환의 범주에서는 자명환 [math(\{0\})]이 시작으로 작동한다.4. 성질
4.1. 유일성
시작은 동형을 제외하면 유일하다. 즉, 범주 [math(C)]에서 두 시작 [math(I_1)]과 [math(I_2)]가 존재한다면, [math(I_1 \cong I_2)]가 성립한다.4.2. 대칭성과 쌍대성
시작은 끝의 대칭적 개념으로, 범주의 대칭성과 이중성을 연구하는 데 필수적이다.4.3. 쌍대극한과의 관계
시작은 쌍대극한의 특수한 경우로 간주될 수 있다. 다이어그램이 없는 경우의 쌍대극한은 시작으로 정의된다.5. 시작과 끝의 차이점
5.1. 정의적 차이
- 시작(Initial Object): 모든 대상으로 가는 유일한 사상을 가진다.
- 끝 (Terminal Object): 모든 대상으로부터 오는 유일한 사상을 가진다.
[math(\forall X \in C, \exists! f : I \to X)]
[math(\forall X \in C, \exists! f : X \to T)]
5.2. 보편 성질
- 시작은 "최초의 대상"으로, 범주에서 데이터를 시작하는 역할을 한다.
- 끝은 "최종의 대상"으로, 범주에서 데이터를 종료하는 역할을 한다.
5.3. 예시 비교
- 집합의 범주 [math(Set)]:
- 군의 범주 [math(Grp)]:
- 시작: 공집합 [math(\emptyset)]
- 끝: 단일 원소 집합 [math(\{\star\})]
- 시작: 자명군 [math(\{e\})]
- 끝: 자명군 [math(\{e\})] (동일하게 작동)