1. 개요
Graham's number (G)수학자 로널드 그레이엄이 조합론의 램지 이론을 연구하던 중 어느 문제의 해결을 위해 제시한 큰수이다.
간단히 말하자면 다음 조건을 만족하는 수.
[math(n)]차원
초입방체[1]의 [math(2^n)]개의 꼭짓점을 모두 직선으로 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. 이 때 [math(n)]이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 2차원 평면상에 있는 네 점을 연결한 6개의 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다.
여기서 나온 '충분히 큰' [math(n)] 값이 바로 그레이엄 수이다. 그런데 이 수가 상상조차 쉽게 할 수 없을 만큼 크다. 아래 계산법을 보면 알겠지만, [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]만해도 쉽게 상상이 안 될 만큼 큰 수인데, 이 수조차 그레이엄 수의 처음 시작 부분에 위치하는 작디 작은(?) 수이다.[2] 엄청나게 큰 수가 그레이엄 수다.
하지만, 실제로 인위적으로 창조한 수 중에서는 이보다 더 큰 수도 많다. 그냥 크기만 키우는 것 쯤이야 쉽기 때문. 피쉬 수, BIGG, 빅풋,[3] 거대수 정원수 같은 수는 그레이엄 수보다 아득하게 더 크며, 이보다도 더 큰 수들도 얼마든지 많으며, 큰 수 표기법으로 많이 사용하는 fgh, BEAF, E 표기법, sgh등으로 쉽게 만들 수 있다. 하지만 큰 수의 대표격으로 그레이엄 수가 언급되는 것은 "수학적 증명에서 등장하는 가장 큰 수"이기 때문이다.[4]
2. 일러두기
그레이엄 수의 계산을 알기 위해서는 거듭제곱 이상의 계산을 하기 위해 쓰이는 하이퍼 연산 표기법중의 하나인 커누스 윗화살표 표기법을 알아야 한다.앞으로 테트레이션의 계산으로 [math(\underbrace {a^{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}}_b)] 의 형태가 많이 나올텐데 이 문서에서는 '[math(a)]로 [math(b)]개의 지수 탑을 쌓는다'라고 표현하겠다.
- 표기 간략화
[math(\left. \begin{matrix} \underbrace a \\ \underbrace b \\ \underbrace {\vdots} \\ \underbrace y \\ z \end{matrix} \right \} 26)]
마찬가지로 위의 표기에서도 [math(26)]은 총 몇 층인지를 나타낸다.
3. 처음 알려진 그레이엄 수(大 그레이엄 수)
1977년, 이 수가 그 문제의 답이라는 것을 수학자 로널드 그레이엄이 증명했고 기존에 스큐스 수가 가지고 있던 "수학적인 증명에서 나타나는 가장 큰 수" 타이틀을 뺏어왔다. 게다가 지금 스큐스 수는 계속 줄어들고 있다.비록 그레이엄이 이 수가 문제의 답임을 구하긴 했지만 그 답이 천문학적, 불교적이라는 수식어가 왜소할 정도로 큰 수인 관계로 수학자들은 이보다 더 작은 답이 없는지 계속 찾고 있다.
3.1. 계산
앞으로의 계산들에 넣은 괄호는 계산 순서가 어떻게 되는지 시각적으로 쉽게 이해할 수 있도록 넣은 것이지 괄호가 없어도 계산은 똑같이 된다.[math(3 \uparrow 3 = 3^3 = 27)]
[math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \\ & = 3 \uparrow 27 \\ & = 7625597484987 \end{aligned})]
[math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3 \\
& = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3) \\
& = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27) \\
& = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 \\
& = \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987} \end{aligned})]
위는 3을 거듭제곱으로 7,625,597,484,987개의 지수 탑을 쌓아 올린 것이다. 그러니까 [math(\underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}}_{7625597484987})] 이렇게 전개된단 얘기이다. 이미 이 단계에서부터 지수 탑을 일반적인 방법으로는 1초에 3개씩 써도 8만년이 걸리는 상상을 초월하는 큰 수가 나와버렸다.[5] 2cm 크기로 3을 쓴다면 그 식을 쓴 글씨의 높이가 지구부터 태양까지 도달해야 저 지수 형태를 완성할 수 있다.
[math(\begin{aligned} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 & = 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 \\
& = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3) \\
& = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 3 \uparrow 3)) \\
& = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow 27)) \\
& = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 7625597484987) \\
& = 3 \uparrow\uparrow\uparrow (\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987}) \\
& = \underbrace{3 \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 3}_{\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987}} \end{aligned} \\
\qquad~\:\: \left. \begin{aligned} &&=\underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\
&& \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\
&& \underbrace{\qquad\;\;\:~
&& \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3} \\
&& \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow 3}_{\displaystyle 3} \quad\;\:\,~ \end{aligned} \right \} \underbrace{3 \uparrow 3 \uparrow \cdots \uparrow 3 \uparrow 3}_{7625597484987})]
이는 3으로 3개의 지수 탑을 쌓고, 그렇게 나온 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고, 다시 그 수를 개수로 해서 3으로 지수 탑을 쌓고... 이를 총 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3-1)]번을 해야 하는 수인데, [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]이 얼마나 큰 수인지는 바로 위에 설명했으니 알 것이다.[6]
[math(\left. \begin{matrix}
\underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\
\underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\
\underbrace {\quad \vdots \quad} \\
\underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}} \\
\underbrace {3^{3^3}} \\
3 \end{matrix} \right \} \underbrace {3^{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}}}}_{3^{3^3}})]
지수 형태로 나타내면 위와 같이 된다.
이제 이 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]를 수열 [math(g_n)]의 1번째 항이라고 정의한다.
[math(g_1=3\uparrow^4 3)]
이 수도 굉장할 정도로 큰 수지만 주인공인 그레이엄 수까지는 아직 코빼기도 안 갔다.
[math(g_2 = 3 \uparrow^{g_1} 3)]
2번째 항을 구하려면 역시 화살표의 개수를 늘려야 한다. 화살표가 몇 개냐면, 바로 [math(g_1)]개이다. [math(g_2)]는 [math(3 \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow 3)]에서 ↑의 개수가 [math(g_1)]개, 즉 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]개라는 것이다. 위에서 봤듯이, 화살표 1개만 늘려도 전개한 식은 어마무시하게 복잡해지는데 이 복잡한 확장 과정을 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3)]번 반복해야 한다.
[math(g_3 = 3 \uparrow^{g_2} 3)]
[math(g_4 = 3 \uparrow^{g_3} 3)]
[math(g_5 = 3 \uparrow^{g_4} 3)]
[math(\;\vdots)]
[math(g_{64} = 3 \uparrow^{g_{63}} 3 = \text{Graham's\;number})]
그 다음 항을 구할 때도 마찬가지이다. [math(g_3)]은 화살표가 [math(g_2)]개, [math(g_4)]는 화살표가 [math(g_3)]개, [math(g_5)]는 화살표가 [math(g_4)]개 ... 이 과정을 계속하여 구한 64번째 항 [math(g_{64})]가 바로 그레이엄 수이다.[7]
한마디로 정리하면, 그레이엄 수는 아래 점화식으로 정의된 수열 [math(\{g_{n}\})]의 제64항인 [math(g_{64})]라고 할 수 있다.
| [math(\displaystyle g_1 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3, \ g_{n+1} = 3 \uparrow^{g_n} 3 \quad (n \in \mathbb{N}) )] |
그레이엄 수 계산을 설명한 영상(영어)
엄청 큰 수의 표기법(한국어)
그레이엄 수의 정식 표기는 아래와 같다.
- [ 펼치기 ・ 접기 ]
- [math(
\def\base{3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\}
\newcommand\fourtimes[1]{#1 #1 #1 #1}
\fourtimes{\fourtimes{\base}} \fourtimes{\base} \base
\fourtimes{\fourtimes{\base}} \fourtimes{\base} \base
\fourtimes{\fourtimes{\base}} \fourtimes{\base} \base
3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3
)]
이를 조금 더 간단히 나타내면 다음과 같다.
[math(
\def\base{3 \underbrace{\uparrow \cdots \uparrow} 3 \\}
\left. \begin{matrix}
\base \base
\underbrace {\quad~ \vdots \quad~} \\
\base
3 \uparrow \uparrow\uparrow\uparrow 3
\end{matrix} \right \} 64
)]
위에서 봤듯이 화살표가 한개 늘어갈 때마다 상상할 수 없는 속도로 수가 커지는데, 그레이엄 수는 화살표의 개수마저도 상상이 안가는 수인 [math(g_{63})], 이 수의 화살표 개수마저도 [math(g_{62})]... 이를 [math(g_1)]이 될 때까지 반복한 만큼 필요한 것이다. 만약에 그레이엄 수가 모두 계산돼서 그 수를 나타낼 때, 각 자리의 숫자 하나가 플랑크 부피(4.22419 × 10−105 m3)만큼의 공간만 차지한다고 가정해도 지수로 표시하든 자연수로 표시하든 일반적인 표기법으로는 관측 가능한 우주 및 다중우주가 구골플렉시안개만큼 있어도 그 속에 그레이엄 수의 숫자를 다 담아낼 수 없다.
만약 다중우주가 ' 구골플렉스 [math(\uparrow\uparrow)] 구골플렉스'개만큼 존재한다고 가정해도 이 모든 우주는 그레이엄 수는커녕 [math(g_1)]의 티끌만큼도 담아내지 못한다. 그레이엄 수의 성질 및 성장률 때문에 다중우주가 [math(g_{60})]개 있어도 그레이엄 수의 화살표 개수인 [math(g_{63})]조차 채우지 못하며,[8] 심지어 [math({g_{63}} \uparrow^{g_{62}+1} {g_{63}})]개만큼 있어도, 역시나 그레이엄 수의 티끌만큼도 담아내지 못한다.
흔히 숫자가 클 때 표현하는 '천문학적이다'라는 표현도 이 수의 거대함을 표현하기에는 택도 없을 만큼 상상을 초월하는 수인 것이다.
3.2. 근사
다행히 콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 이용하면 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2)]보다 크고 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2)]보다 작은 수라고 표기할 수 있으며[9], 정확히는 [math(f(x) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow x)]라고 두면 [math((\underbrace {f \circ f \circ \cdots \circ f \circ f}_{f가\;64개})(4)=f^{64}(4))]와 같이 나타낼 수 있다.Fast-growing hierarchy로는 [math(f_{\omega+1}(64))]로 근사할 수 있다.[10]
Bowers Exploding Array Function으로 나타내자면 [math(\{3, 65, 1, 2\})]보다 크고, [math(\{3, 66, 1, 2\})]보다는 작다.[11] 더 정확하게 표현하자면 [math(\{4, 65, 1, 2\})]에 근사하며, 그레이엄수의 전개식에 3 대신 4를 집어넣은 수와 같다.
Slow-growing hierarchy로 나타내자면 [math(g_{\Gamma_0}(64))]에 근사한다.
참고로 마지막 400자리 숫자는 다음과 같다. 출처 참고[12]
| 3881448314065252616878509555264605107117200099709291249544378887496062882911725063001303622934916080254594614945788714278323508292421020918258967535604308699380168924988926809951016905591995119502788717830837018340236474548882222161573228010132974509273445945043433009010969280253527518332898844615089404248265018193851562535796399618993967905496638003222348723967018485186439059104575627262464195387 |
4. 새로 알려진 그레이엄 수(小 그레이엄 수)
많은 수학자들이 이 수의 더 작은 상한을 찾기 위해서 노력했는데, 2013년에 어느 수학자가 이 문제의 답이 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]보다 작다는 논문을 발표했고 2019년에 다른 수학자가 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]보다 작다는 논문을 발표했다. 2013년 2019년 논문 보기 다만 arxiv의 특성상 두 논문에 오류가 없다는 것이 확인되지 않았으며 더 많은 수학자에게서 검증받은 후에나 인정될 것이다.[math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]도 매우 큰 수긴 하나 기존의 그 끝을 알 수 없었던 G(1) 이상의 원래의 수보다 굉장히 작은 수다.[13]
참고로 2013년 논문의 내용을 요약하면 그레이엄 수 [math(Graham(2) \leq TTT(4,2,6) + 1)]임을 증명했고, [math(TTT(4,2,6) < HJ(4,2,6))]으로 바운드되며, [math(HJ(4,2,6) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8) < 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 9 < 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6)]임을 계산한 것이다.
4.1. 계산
[math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]을 한번 계산해보자.먼저 화살표 표기법의 성질을 이용해서
[math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 )]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2))]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 4)]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2 \uparrow 2 \uparrow 2))]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 2 \uparrow 4))]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow 16))]
[math(= 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 65536)] 으로 나타낼 수 있다.
여기서 제일 먼저 계산해야 하는 [math(2 \uparrow\uparrow 65536)]은 [math(\underbrace{2 \uparrow 2 \uparrow \cdots \uparrow 2 \uparrow 2}_{65536})]로 정의되고, 이 수가 얼마인지 가늠하기 위해 [math(2 \uparrow\uparrow 4)]부터의 계산을 살펴보자면
[math(2 \uparrow\uparrow 4 = 2^{2^{2^{2}}} = 65536)]
[math(2 \uparrow\uparrow 5 = 2^{2^{2^{2^{2}}}} = 2^{65536} \approx 2.00353 \times 10^{19728})]
[math(2 \uparrow\uparrow 6 = 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}} \approx 10^{10^{19727.78}})]
[math(2 \uparrow\uparrow 7 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}} \approx 10^{10^{10^{19727.78}}})]
[math(2 \uparrow\uparrow 8 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{19727.78}}}})]
[math(2 \uparrow\uparrow 9 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{10^{19727.78}}}}})]
[math(2 \uparrow\uparrow 10 = 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}}}} \approx 10^{10^{10^{10^{10^{10^{19727.78}}}}}})]
[math(\quad\,\vdots)]
[math(2 \uparrow\uparrow 65536 = \underbrace {2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}}_{65536} \approx \; \underbrace {\!10^{10^{10^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{10}}}}}}\!\!}_{65532}{}^{^{^{^{^{^{^{19727.78}}}}}}})]
이렇게 2로 65536개의 지수 탑을 쌓은 수이다.
[math(2 \uparrow\uparrow 7)]만 해도 구골플렉시안을 가뿐히 넘는 수가 나오게 되는데, 여기서 앞에 [math(2 \uparrow\uparrow)]를 붙여 계산하는 것을 1번 더 해야 한다.
[math(2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow 65536 = \underbrace {2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}}_{\displaystyle \underbrace {2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}}_{65536}})]
정리하면 [math(2 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]은 2로 65536개의 지수 탑을 쌓아서 만든 수를 개수로 해서 2로 지수 탑을 쌓아서 만든 수이다. 이 수가 비록 원래의 그레이엄 수에 비하면 비교하는 것이 의미가 없을 정도로 작다고는 하나 이마저도 이미 천문학적인 수준을 아득히 씹어먹기에,[14] 크기가 얼마쯤 되는지도 상상이 불가능한 수준이다. [math(3\uparrow\uparrow\uparrow 3)]보다는 크고, [math(3\uparrow\uparrow\uparrow 4)]보다는 작다.
5. 관련 문서
[1]
한국어 위키백과에 초입방체에 대한 설명이 있으니 참고하자. 간단히 말하면 2차원은 정사각형, 3차원은 정육면체 등이다.
[2]
보통
Wolfram Alpha와 같은 수치 계산 프로그램에서 계산할 수 있는 한계는 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]이며 [math(3 \uparrow\uparrow 5)]까지는 몇 자리 수인지는 표기가 가능하다.
[3]
그나마
라요 수는 물론,
피쉬 수 7보다도 큰 수로 알려졌던 빅풋은 잘못 정의된 수로 밝혀졌다. 하지만 그걸 감안해도 그들에 비하면 그레이엄 수는 상대적으로 작디 작은 수이다.
[4]
수학적 의미를 가지고 있는 수 중에서 가장 큰 수는 아니다. 수학적 증명에 쓰인 것 중에서 가장 큰 수일 뿐이지 이보다 큰 수는 많다. 수학적 의미를 가지고 있는 수 가운데 그레이엄 수보다 큰 수로는 대표적으로
바쁜 비버 함수와
TREE(3),
콘웨이의 테트라트리 등이 있다. 하지만
라요 수 이상부터는 실용성은 물론, 수학적 의미와 계산 가능성마저도 내다버리고 만든 것이 대부분이다.
[5]
알다시피 지수에 지수가 있는 것이 반복된 계단 형태는 위에 있는 지수부터 밑으로 계산해야 한다. 그래서 지수에 쓰인 수의 크기보다도 탑의 높이가 더더욱 의미가 크다.
맨 위에 있는 지수 [math(3^3=27)]
그 아래 [math(3^{3^3}=3^{27}=7625597484987)]
그 아래 [math(3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987} \approx1.258×10^{3638334640024})]
그 아래 [math(3^{3^{3^{3^3}}} \approx 3^{1.258×10^{3638334640024}} \approx 10^{10^{10^{12.56}}})]...
이렇게 이런 계산을 총 7,625,597,484,986번이나 해야 그제서야 비로소 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]가 나오니 말 다했다. [math(3↑↑5)]를 10의 지수 탑으로 표시하면 맨 위의 수는 12.56이 나오는데, 이 값은 반올림일 뿐 실제 값과는 [math(3^{3^{3^3}})]만한 다중우주의 플랑크 부피(고작(?) 10^200도 되지 않는다. 경우의 수라고 해도 기껏해야(?) 구골플렉시안을 넘을 정도.)와도 비교할 수 없을 정도로 차이가 크다. 구골을 1번 플렉스하면 구골플렉스, 2번 플렉스하면 구골플렉시안이 되는 방법으로 구골을 7625597484983번 플렉스해야 저 값과 비슷(?)해진다. 수가 너무 커서 값의 차이가 우주와 플랑크 부피의 차이와도 비교할 수 없는 수준인 건 말할 필요도 없고, 플렉스 횟수도 3의 지수 탑 높이와 별로 차이나지 않는다. [6] 사실 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]만 해도 자연수로 나타내기 버겁다. [math(4 \uparrow\uparrow 3)]만 해도 이미 구골을 넘기는 154자리의 수이다. [math(n \uparrow\uparrow 3)]으로 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 근사하면 [math(n)]의 값이 ≈11.72 정도가 되는데, [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 자연수로 나타내려면 10진수 기준 자릿수만 3조를 넘는다. [7] 왜 하필 100도 아닌 64냐면 크기가 목표가 아니고 초입방체이기 때문. 애초에 그레이엄 수 자체가 수학적 증명에 사용된 가장 큰 수이기도 한데 보통 수학적 증명에서 사용된 큰 수들은 들어간 수가 100이 아니라 2의 몇제곱 식으로 쓰인다. 큰 수의 함수 발화점 대다수(특히 TREE(3))가 3이라서 3을 쓰는 경우도 많다. [8] [math(g_{61})]개는 넘게 필요하다. 만약 다중우주가 [math(g_{100})]개 있으면 [math(g_{102})]를 채울 수 있을까 생각될 수도 있겠지만 수가 너무 커서 [math(g_{101})]도 못 채운다. [9] 이 수는 [math(g_{64})]보다 조금 큰 수인 [math(f_{\omega+1}(64))]보다도 한참 크기 때문에 비슷해지기 위해 2개의 구골플렉시안 사이에 화살표를 [math(g_{63})]개 넣어봤자 소용없다. [10] 실제로는 [math(f_{\omega+1}(64))]가 조금(?) 더 크며 [math(f^{64}_{\omega}(5))]와 비슷하다. [math(f_{\omega+1}(63))]보다는 그레이엄 수가 더 크다. 참고로 [math(f_{\omega+1}(64))]는 [math(g_{65})]보다는 작지만 [math(g_{64})]와 비슷해지기 위해 [math(g_{64})]에 화살표 몇 개를 추가해도 소용없다. 애초에 그레이엄 수가 3이 주인공이 아니고 구골 이상의 수가 주인공이었다면 모를까... [11] 마찬가지로 [math(f_{\omega+1}(64))]보다 크다. 이 수는 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2)] 정도로 근사한다. [12] [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]도 이미 계산이 불가능한 상황에 그레이엄 수를 다 계산했을 리는 없지만, 모우저처럼 아무리 큰 수라도 결국 패턴이 존재하는 수인 이상 패턴만 간파하면 마지막 자리수를 어느 정도는 구해낼 수 있다. 그레이엄 수의 n차원 문제도 그레이엄이 구했는데, 저 숫자들은 일부만 계산했을 때 나타나는 법칙을 토대로 구해낸 것. [13] 대충 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 4)]보다는 약간 크지만 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]보다 작다. 10의 지수 탑으로 나타내려면 탑의 높이가 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]을 넘는다. [14] 사실 [math(2 \uparrow\uparrow 5)]만 해도 수가 2만 자리에 가까우니 꽤 크다.
맨 위에 있는 지수 [math(3^3=27)]
그 아래 [math(3^{3^3}=3^{27}=7625597484987)]
그 아래 [math(3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987} \approx1.258×10^{3638334640024})]
그 아래 [math(3^{3^{3^{3^3}}} \approx 3^{1.258×10^{3638334640024}} \approx 10^{10^{10^{12.56}}})]...
이렇게 이런 계산을 총 7,625,597,484,986번이나 해야 그제서야 비로소 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]가 나오니 말 다했다. [math(3↑↑5)]를 10의 지수 탑으로 표시하면 맨 위의 수는 12.56이 나오는데, 이 값은 반올림일 뿐 실제 값과는 [math(3^{3^{3^3}})]만한 다중우주의 플랑크 부피(고작(?) 10^200도 되지 않는다. 경우의 수라고 해도 기껏해야(?) 구골플렉시안을 넘을 정도.)와도 비교할 수 없을 정도로 차이가 크다. 구골을 1번 플렉스하면 구골플렉스, 2번 플렉스하면 구골플렉시안이 되는 방법으로 구골을 7625597484983번 플렉스해야 저 값과 비슷(?)해진다. 수가 너무 커서 값의 차이가 우주와 플랑크 부피의 차이와도 비교할 수 없는 수준인 건 말할 필요도 없고, 플렉스 횟수도 3의 지수 탑 높이와 별로 차이나지 않는다. [6] 사실 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]만 해도 자연수로 나타내기 버겁다. [math(4 \uparrow\uparrow 3)]만 해도 이미 구골을 넘기는 154자리의 수이다. [math(n \uparrow\uparrow 3)]으로 [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 근사하면 [math(n)]의 값이 ≈11.72 정도가 되는데, [math(3 \uparrow\uparrow 4)]를 자연수로 나타내려면 10진수 기준 자릿수만 3조를 넘는다. [7] 왜 하필 100도 아닌 64냐면 크기가 목표가 아니고 초입방체이기 때문. 애초에 그레이엄 수 자체가 수학적 증명에 사용된 가장 큰 수이기도 한데 보통 수학적 증명에서 사용된 큰 수들은 들어간 수가 100이 아니라 2의 몇제곱 식으로 쓰인다. 큰 수의 함수 발화점 대다수(특히 TREE(3))가 3이라서 3을 쓰는 경우도 많다. [8] [math(g_{61})]개는 넘게 필요하다. 만약 다중우주가 [math(g_{100})]개 있으면 [math(g_{102})]를 채울 수 있을까 생각될 수도 있겠지만 수가 너무 커서 [math(g_{101})]도 못 채운다. [9] 이 수는 [math(g_{64})]보다 조금 큰 수인 [math(f_{\omega+1}(64))]보다도 한참 크기 때문에 비슷해지기 위해 2개의 구골플렉시안 사이에 화살표를 [math(g_{63})]개 넣어봤자 소용없다. [10] 실제로는 [math(f_{\omega+1}(64))]가 조금(?) 더 크며 [math(f^{64}_{\omega}(5))]와 비슷하다. [math(f_{\omega+1}(63))]보다는 그레이엄 수가 더 크다. 참고로 [math(f_{\omega+1}(64))]는 [math(g_{65})]보다는 작지만 [math(g_{64})]와 비슷해지기 위해 [math(g_{64})]에 화살표 몇 개를 추가해도 소용없다. 애초에 그레이엄 수가 3이 주인공이 아니고 구골 이상의 수가 주인공이었다면 모를까... [11] 마찬가지로 [math(f_{\omega+1}(64))]보다 크다. 이 수는 [math(3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2)] 정도로 근사한다. [12] [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]도 이미 계산이 불가능한 상황에 그레이엄 수를 다 계산했을 리는 없지만, 모우저처럼 아무리 큰 수라도 결국 패턴이 존재하는 수인 이상 패턴만 간파하면 마지막 자리수를 어느 정도는 구해낼 수 있다. 그레이엄 수의 n차원 문제도 그레이엄이 구했는데, 저 숫자들은 일부만 계산했을 때 나타나는 법칙을 토대로 구해낸 것. [13] 대충 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 4)]보다는 약간 크지만 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 5)]보다 작다. 10의 지수 탑으로 나타내려면 탑의 높이가 [math(3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)]을 넘는다. [14] 사실 [math(2 \uparrow\uparrow 5)]만 해도 수가 2만 자리에 가까우니 꽤 크다.