1. 개요
프리드만 방정식(Friedmann Equations)은 일반 상대성 이론을 기반으로 우주의 팽창과 진화 과정을 기술하는 두 개의 방정식으로, 알렉산드르 프리드만(Alexander Friedmann)이 1922년과 1924년에 발표한 연구에서 유도되었다. 이 방정식은 우주론에서 가장 중요한 이론적 기초 중 하나로, 허블 상수, 밀도 매개변수, 그리고 우주의 곡률을 포함하여 우주가 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 설명한다. 현대 우주론에서 ΛCDM 모델을 비롯한 다양한 우주론적 모델의 기초를 제공하며, 빅뱅 이론의 수학적 근거로 활용된다.2. 배경 지식
프리드만 방정식은 우주가 등방성(Isotropic; 어느 방향으로 보아도 동일)과 균질성(Homogeneity; 어느 위치에서도 동일)을 가진다고 가정한다.[1] 또 우주는 밀도 [\math(\rho)]와 압력 [\math(p)]를 가지는 완전 유체라고 가정한다.프리드만 방정식에는 척도 인자(scale factor) [\math(a (t))]가 등장한다. 척도 인자는 우주의 상대적인 크기를 나타내는 무차원 변수로, 우주가 팽창함에 따라 변하는 값이다. 원점을 기준으로 어떤 점의 위치벡터를 [\math(\mathbf{r}(t))]라고 하고 현재 우주의 나이 혹은 시간을 [\math(t_0)]라고 하면, 척도 인자는 [\math(a(t)\coloneqq \frac{\mathbf{r}(t)}{\mathbf{r}(t_0)})]로 정의된다. 즉, 현재 우주의 크기를 1이라고 할 때, 과거 혹은 미래의 우주의 상대적인 크기를 나타내는 값이다.
다음과 같은 과정을 통해 간단하게 허블 매개변수(Hubble parameter)[math(H(t))]를 유도할 수 있다:
[math(\displaystyle \mathbf{v}(\mathbf{r},t) = \frac{d}{dt}\mathbf{r}(t) = \frac{da}{dt}\mathbf{r}(t_0) \equiv \dot{a}\mathbf{r}(t_0) = \frac{\dot{a}}{a}\mathbf{r} \equiv H(t)\mathbf{r})]
따라서 [\math(H(t) \equiv \frac{\dot{a}}{a})]이다. 특히, 허블 상수는 현재의 허블 매개변수 값에 해당한다. ([math(H_0 = H(t_0))])
3. 프리드만 방정식
프리드만 방정식은 다음과 같이 두 개의 미분 방정식을 의미한다:[math( \displaystyle \left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda}{3} )]
[math( \displaystyle \frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left( \rho+\frac{3P}{c^2} \right) + \frac{\Lambda}{3} )]
첫 번째 미분 방정식은 좌변이 허블 매개변수와 같다. 이 식은 척도 인자의 도함수에 관한 식을 나타내므로 마치 뉴턴의 'F=ma'와 비슷하다고 하여 '운동 방정식'이라고도 불리며, 두 번째 방정식은 '가속 방정식'이라고도 한다.
4. 유도
비록 프리드만 방정식은 일반 상대성 이론으로부터 유도된 식이지만, 뉴턴 역학을 이용해서도 유도해볼 수 있다.
[1]
여기서 주의할 점은, 등방성이 균질성을 내포하지 않으며, 반대로 균질성이 등방성을 내포하지도 않는다. 관측적으로 등방성은 확인할 수 있으나, 우주의 균질성은 확인할 수 없다. 다만 지구의 위치가 우주에서 특별한 위치가 아니라는 코페르니쿠스 원리(Copernican Principle)에 의해 정당화될 수 있다.