Independent trials
1. 개요
독립시행이란, 매번 같은 조건에서 어떤 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않는 시행이다[수학 백과, 대한수학회]. [1] 확률을 배울 때 꼭 거쳐가는 도박사의 오류가 바로 이 독립시행에 대한 잘못된 해석이다.조작이 없는 완벽한 주사위가 있다고 할때, 이전에 던진 값이 1이든 6이든 상관없이 다음번 던질때 각면이 나올 확률은 1/6 로 변치 않는다. 이것이 독립시행이다.
독립시행의 중요한 점은 공정한 주사위를 던져 1이 나올 확률이 1/6 이라고 해서, 6번 던지면 그중에 1번이 1이라는 보장은 전혀 없다는 것이다. 오히려 6번 던졌는데 1이 한번도 안나올 확률이 (5/6)^6 = 약 0.33이다. 즉, 주사위를 100번을 던지든 1000번을 던지든 1이 단 한번도 나오지 않을 수도 있으나, 매 시행마다 주사위를 던졌을때 1이 나올 확률은 여전히 1/6이라는 것이다.
단, 주사위를 6번 던졌을 때 1이 한번은 나온다는 보장이 없다는 것이지, 6번 중 1번의 빈도로 1이 나온다는 것은 참으로, 독립시행과 확률적 기댓값의 개념은 서로 별개로 구분된다. 가끔 기댓값을 논할 때 독립시행을 들어 기댓값을 부정하는 오용 사례도 인터넷상에서 찾을 수 있다.
반대로 이전의 시행 결과가 현재의 확률에 영향을 준다면, 그것은 종속시행이다. 예를 들면 50개의 구슬 중 1개의 당첨 구슬이 든 상자에서 뽑은 구슬은 다시 넣지 않는 등의 비복원추출이 여기에 해당한다.
2. 확률
1번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 p라고 하자. 그럴 경우 n번의 독립시행시 사건 A가 x번 일어날 확률은 [math(\displaystyle \binom{n}{x}{p}^{x}{\left ( 1-p \right )}^{n-x})]이다.여기서 [math(\displaystyle \binom{n}{x}=_{n}C_{x})]이다.
3. 예시
3.1. 독립시행인 경우 (복원추출)
- 주사위
- 동전 던지기
- 대부분의 가챠 게임 - 실제 가샤폰과는 달리 원칙적으로 독립시행이 적용된다. 다만, 대부분의 게임이 기술 확률 보정, 불운 보정 시스템, 마일리지 시스템, VIP 시스템, 10연차 뽑기 시 고레벨 템/스킨/캐릭 확정 제공, 천장 시스템 같은 것을 채택하기 때문에 현실적으로는 독립시행이 아닌 경우가 많다.
- 데하카/협동전 임무 - 15레벨 유전자 돌연변이
- 로또
- 매주 로또 추첨은 이전 추첨결과와 완전하게 무관하므로 독립시행이다.
- '자동선택' 기능을 사용해 어떠한 번호가 나오는 경우는 이전의 선택한 번호와 무관하게 생성하므로 독립시행이다. 단, 어떤 사람이 로또 한 장을 산 다음, 동일 회차에서 이전에 추첨한 번호와 다른 번호로 한 장을 더 사서 로또에 당첨되는 사건들은 상호배타적 사건들이므로 독립이 아닌 종속 시행이다.[2] 번호가 다른 두 개의 로또 추첨으로 두 번 로또에 당첨될 수 없기 때문이다.
- 히어로즈 오브 마이트 앤 매직 3/포트리스의 강력한 고르곤(Mighty Gorgon)은 10% 확률로 죽음의 응시(Death Stare)로 대상을 한 번에 죽인다. 이는 고르곤의 수마다 10% 확률이 존재하므로, 100마리 고르곤은 공격할 때마다 각각 10% 확률로 대상을 죽인다.
3.2. 독립시행이 아닌 경우 (종속시행, 비복원추출)
간단히 생각하면 푸른 구슬 99개, 붉은 구슬 1개가 든 주머니에서 구슬을 하나 꺼내는 것과 같다. 붉은 구슬이 나올 확률은 1% 이다. 그런데, 만약 내 앞에 사람이 푸른 구슬을 뽑았고, 그 구슬은 폐기했다(혹은 주머니에 다시 넣지 못하게 했다)고 치면, 남은 푸른 구슬은 98개가 된다. 즉, 붉은 구슬이 나올 확률은 1.00% 에서 1.010101...% 로 증가하게 된다.- 블랙잭: 카드카운팅 문서 참고.
- 가샤폰: 많은 돈을 투입해서 뽑기 기계의 모든 가샤폰을 뽑아 버리면 확률을 역산해 볼 수 있다.
- 스피또: 발행매수와 당첨매수가 정해져 있기에 독립시행이 아니라 종속시행이다.
[1]
즉, 만약 두 시행의 확률이 같더라도 서로 연관되어있다면 독립이 아니다. 이러한 예시를 들어보자. 주머니에 9개의 흰 공, 1개의 검은 공 하나가 있을 때, 하나씩 주머니에서 공을 꺼내는 시행을 하고 있다.(도로 넣지 않는다.) 이때 k번째에 검은 공을 뽑을 확률은 [math(1/10)]으로 모두 같다. 하지만 매번 같은 조건이 아니므로 독립시행이 아니다.
[2]
확률이 0인 사건을 제외한, 모든 상호배타적 사건들은 독립이 아닌 종속사건들 이다.