1. 개요
[math(\log_23)]대략 1.58496...에 해당하며 로그의 정의에 따라 [math(2^x=3)]을 만족시키는 [math(x)]의 값이다. 로그의 성질에서 접할 수 있는 대표적인 초월수 중 하나이다.
거듭제곱근 중 대수적 수로 표현이 안되는 상황에서 log2(3)의 도입은 그것을 표현할 수 있게 하는 대표적인 사례로 제시된다.
2. 초월수 증명
초월수임을 증명하는 과정은 다음과 같다.1. 먼저 무리수임을 증명하여야 한다.
2. 그렇다면 [math(\log_23)]을 유리수라고 가정한다. [math(\log_23)]=a/b로 둔다.
3. 이 식을 풀면 2^a=3^b (a, b는 0이 아닌 정수)로 표시된다. 이때 좌변은 항상 짝수이고 우변은 항상 홀수이므로 성립이 불가능하다.
4. 따라서 [math(\log_23)]은 무리수이다.
5. 이제 초월수임을 증명한다. 이미 무리수임을 증명하였고, 그렇다면 [math(\log_23)]을 대수적 무리수라고 가정한다.
6. 겔폰트-슈나이더 정리 이론이 참임을 이용하여, 밑이 1보다 큰 자연수이고 지수가 대수적 무리수이면 이를 연산한 결과는 항상 초월수이다. 따라서 밑이 1보다 큰 자연수의 [math(\log_23)]이 지수이면 결과값이 항상 초월수가 나와야 한다.
7. 하지만 로그의 정의에 따라 밑이 2, 지수가 [math(\log_23)]이면 이를 연산한 값은 3이므로, 초월수가 나오지 않아 모순이 발생한다.
8. 즉 [math(\log_23)]은 초월수이다.