1. 개요
Bargaining Game or Cooperative Bargaining시장에서 상인이 물건을 팔 때 고객이 물건 값을 흥정 혹은 협상하는 상황을 수학적으로 추상화 한 게임이다.
협력적 게임을 풀 때 한 파벌(coalition) 내에서 파벌이 얻은 이득(surplus)을 구성원이 분배할 때 어떻게 분배되는지, 두 개의 국가가 외교 협상을 할 때[1] 조약을 결국 어떤식으로 체결하게 되는지 등을 모델링할 때 사용될 수 있다.
2. 내용
시장에서 어떤 상인이 물건을 팔려고 한다. 나는 이 물건을 사고 싶은데 이 물건의 가치는 각각 다음과 같다.- 상인한테 이 물건의 가치는 0.[2]
- 나한테 이 물건의 가치는 1.
그럼 협상 게임은 다음과 같이 진행 된다. 나 혹은 상인이 [math(p)]라는 가격에 물건을 제안하면 상대방은 Yes or No를 하는 것이다. 협상 게임은 이를 어떻게 모델링 할 지, 절적한 action은 무엇인지를 찾는다.
2.1. 순차적 협상 게임 (Sequential bargaining model)
서로 반복하여 물건값을 흥정하는 것을 가정한 협상 게임이다.상인: 0.8원에 물건 살래?
나: 싫어. 0.6원에는 가능해?
상인: 안돼. 0.75원 까지는 가능해.
나: 너무 비싸. 0.63원으로 하자.
상인: 그럼 손해보는 장사야. 0.73원 이하로는 안돼.[3]
...
나: 싫어. 0.6원에는 가능해?
상인: 안돼. 0.75원 까지는 가능해.
나: 너무 비싸. 0.63원으로 하자.
상인: 그럼 손해보는 장사야. 0.73원 이하로는 안돼.[3]
...
이렇게 흥정은 상대가 제안을 받아들이기 전까지 무한번 반복 될 수 있다.
만약 이것이 무한번이 아니라 단 한번만 진행된다면, 상인의 요구에 그대로 줘야하고, 상인은 이를 알아서 1:0을 부를 것이다.
만약 한번이 아니라 무한번 진행된다면, 상인과 나는 대칭적(symmetric)이므로 1:1로 공평하고 이득을 나눠야 할 것이다. (Nash Solution)
이를 Rubinstein은 discounting 개념을 도입하여 한번 흥정 게임이 끝나서 100% discount 되어 버렸을 때 1:0 배분이 되고, discount가 되지 않아 영원히 흥정을 할 때 1:1 배분이 되게 하는 subgame perfact equilibrium을 찾았는데 이를 rubinstein's solution이라 한다: discount rate이 [math(0 \le \varepsilon \le 1)]일 때 최종 배분의 equilibrium은
[math(\displaystyle \frac{1}{2 - \varepsilon}, \frac{1 - \varepsilon}{2 - \varepsilon})]
이다.이는 [math(\varepsilon=0)]일 때 (즉, discount rate이 0이 되어 영원히 흥정이 계속 될 때), 둘은 1:1로 공평하게 나눌 것이고, 만약 [math(\varepsilon=1)]이면 (즉, discount rate이 1이 되어 한번 협상에 실패하면 물건이 증발), 먼저 가격을 제시하는 사람이 압도적으로 유리해져 1:0으로 매우 불공평하게 자원을 배분할 것이다.
3. 해 (Solution)
3.1. Nash bargaining solution
Nash는 효용함수가 affine transformation에 대해
4. 여담
5. 관련 문서
[1]
예를 들면 우크라이나 전쟁 때문에 북한이 러시아에게 무기를 줘야한다고 했을 때 북한은 최대한 안 주려고 흥정할 것이고 러시아는 최대한 많이 받으려고 흥정을 할 것이다.
[2]
Without loss of generality, 이렇게 설정해도 아무 상관 없다.
[3]
이런식으로 얼마 이하는 아예 거래 안하겠다고 엄포하는 것을 threat이라고 한다. 이러한 threat이 실제로 위협적이면 (즉 진짜로 거래 안해버릴수도 있으면), 이를 credible threat이라고 하고, 막상 말만 그렇게 하고 실제로는 그렇게 하지도 않을 것 같으면 non-credible threat이라고 한다.