1. 개요
Tychonoff[1] Theorem임의의 컴팩트한 공간들의 곱공간은 컴팩트하다는 정리이다. Munkres 저 위상수학을 참고하여 작성하였다.
두 개의 컴팩트한 공간들이 있을 때, 이들의 곱공간이 컴팩트하다는 것은 관 보조정리(tube lemma)를 통해 증명할 수 있다. 수학적 귀납법에 의해, 유한한 개수의 컴팩트한 공간들의 곱공간도 그러하다. 그러나 무한한 개수의 컴팩트 공간들은 어떨까?
2. 보조정리 #1
[math(X)]가 임의의 집합이라고 하고, [math(X)]의 부분집합들의 집합족 [math(\mathcal{A})]가 유한교집합성질(finite intersection property)을 만족한다고 하자. 그럼 [math(X)]의 적절한 부분집합들의 집합족 [math(\mathcal{D})]가 존재하여, [math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하고, [math(\mathcal{D})]를 진부분집합으로 갖는 [math(X)]의 그 어떠한 부분집합들의 집합족이라도 유한교집합성질을 만족하지 않는다.[2]
증명
[math(\mathcal{D})]의 존재성을 보이기 위하여 초른의 보조정리(Zorn's lemma)를 사용하겠다. [math(X)]의 부분집합들의 집합족 중 [math(\mathcal{A})]를 부분집합족으로 갖는 것들을 모아 집합족[3] [math(\mathscr{A})]를 만들자. [math(\mathscr{A})]의 부분집합족으로서 부분집합 관계에 의해 전순서집합(totally ordered set)이 되는 임의의 [math(\mathscr{B})]에 대해, [math(\mathcal{C})]를 [math(\bigcup \mathscr{B})]라 하자.
[math(\mathcal{C})]가 [math(\mathscr{A})]의 원소라는 걸 증명하면 초른의 보조정리를 사용할 수 있을 것이다. [math(\mathscr{B})]의 각 원소가 [math(\mathcal{A})]를 부분집합족으로 가지므로, [math(\mathcal{C})] 역시 그러하다. 한편, [math(\mathcal{C})]가 유한교집합성질을 만족한다는 것을 증명하기 위해 [math(\mathcal{C})]의 임의의 원소들 [math(C_1, \cdots, C_n)]를 뽑자. 그럼 각 [math(C_i)]에 대해 [math(\mathscr{B})]의 적절한 원소 [math(\mathcal{B}_i)]가 존재하여 [math(C_i)]를 원소로 가진다. [math(n)]은 자연수이므로 [math(\mathcal{B}_i)]들 중 가장 큰 것 [math(\mathcal{B}_k)]가 존재하며, 이는 [math(C_1, \cdots, C_n)]를 모두 원소로 가진다. [math(\mathcal{B}_k)]는 유한교집합성질을 만족하므로, [math(C_1 \cap \cdots \cap C_n)]은 공집합이 아니다.
[math(\mathcal{C})]가 [math(\mathscr{A})]의 원소라는 걸 증명하는 데 성공하였다. 이제 초른의 보조정리를 사용하면 [math(\mathscr{A})]에 극대원소(maximal element)가 존재한다는 결론이 나오며, 이 극대원소가 바로 우리가 찾는 [math(\mathcal{D})]이다.
3. 보조정리 #2
[math(X)]가 임의의 집합이라고 하고, 보조정리 #1를 이용하여 [math(\mathcal{D})]를 뽑자.
(a) [math(\mathcal{D})]는 유한 교집합에 대해 닫혀 있다.
(b) [math(X)]의 임의의 부분집합 [math(A)]와 [math(\mathcal{D})]의 임의의 원소 [math(D)]에 대해 [math(A \cap D \neq \emptyset)]라면, [math(A)]는 [math(\mathcal{D})]의 원소이다.
(a) [math(\mathcal{D})]는 유한 교집합에 대해 닫혀 있다.
(b) [math(X)]의 임의의 부분집합 [math(A)]와 [math(\mathcal{D})]의 임의의 원소 [math(D)]에 대해 [math(A \cap D \neq \emptyset)]라면, [math(A)]는 [math(\mathcal{D})]의 원소이다.
증명
(a) [math(\mathcal{D})]에서 임의의 유한 개의 원소들을 뽑은 다음 교집합을 취해 [math(B)]를 만들자. [math(\mathcal{D})]에 [math(B)]를 첨가(adjoin)하여 [math(\mathcal{E})]를 만들면 이 역시 유한교집합성질을 만족하는데, [math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하는 상한이므로, [math(B \in \mathcal{E} = \mathcal{D})]이다.
(b) 위 (a) 증명에서 [math(B)] 자리에 [math(A)]를 넣는다.
4. 본 정리
임의의 개수의 컴팩트한 공간들 [math(X_\alpha)][4]들에 대해 이들의 곱공간 [math(X = \prod_{\alpha \in J} X_\alpha)]도 컴팩트하다.
증명
[math(X)]의 닫힌 부분집합들의 집합족 [math(\mathcal{A})]으로서 유한교집합성질을 만족하는 것을 임의로 고르고, [math(\bigcap \mathcal{A})]가 공집합이 아니라는 걸 증명하자.
보조정리 #1대로 집합족 [math(\mathcal{D})]를 만들자. [math(\mathcal{A} \subset \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이므로, [math(\bigcap \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이 공집합이 아니라는 것은 충분조건이다.
[math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하므로, 각 [math(\alpha \in J)]에 대해 [math(\{\overline{\pi_\alpha[D]} : D \in \mathcal{D}\})][5] 또한 그러하다. [math(X_\alpha)]는 컴팩트하므로, [math(\bigcap \{\overline{\pi_\alpha[D]} : D \in \mathcal{D}\})]에서 원소 [math(x_\alpha)]를 뽑을 수 있다. 이제 [math(x_\alpha)]를 각 [math(\alpha \in J)]에 대해 늘어놓아 [math(X)]의 원소 [math(\mathbf{x})]를 만들자. 모든 [math(D \in \mathcal{D})]에 대해 [math(\mathbf{x} \in \overline{D})]임을 증명하면 [math(\bigcap \{\overline{D} : D \in \mathcal{D}\})]이 공집합이 아니라는 증명이 끝날 것이다.
임의의 [math(\beta \in J)]와 [math(x_\beta)]의 임의의 근방(neighborhood) [math(U_\beta)]에 대해 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta])]는 [math(X = \prod_{\alpha \in J} X_\alpha)]의 준기저(subbasis)의 원소이다. [math(x_\beta \in \overline{\pi_\beta[D]})]이므로, [math(D)]의 적절한 원소 [math(\mathbf{y})]가 존재하여 [math(\pi_\beta(\mathbf{y}) \in U_\beta \cap \pi_\beta[D])]이다. 즉 [math(\mathbf{y} \in \pi_\beta^{-1}[U_\beta] \cap D)]이고, 따라서 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta] \cap D \neq \emptyset)]이다.
이제 보조정리 #2(b)를 적용하면 [math(\pi_\beta^{-1}[U_\beta] \in \mathcal{D})]이라는 결론이 나오고, 보조정리 #2(a)를 적용하면 [math(\mathbf{x})]의 근방 [math(V)]로서 준기저의 원소인 것뿐만 아니라 기저의 원소인 것 또한 [math(\mathcal{D})]의 원소라는 결론이 나온다. [math(\mathcal{D})]는 유한교집합성질을 만족하므로, [math(\mathcal{D})]의 임의의 원소 [math(D)]에 대해 [math(D \cap V \neq \emptyset)]이고, 즉 [math(\mathbf{x} \in \overline{D})]이다.
5. 성질
티호노프 정리는 선택공리와 동치이다. 즉, 선택공리를 인정하지 않고 그 부정을 인정한다면, 적절한 무한 개의 컴팩트 공간이 존재하여 그 곱공간은 컴팩트가 아니다.
[1]
소련의 수학자 안드레이 니콜라예비치 티호노프(Андре́й Никола́евич Ти́хонов), 생몰년 1906–1993.
[2]
달리 말해, [math(\mathcal{D})]는 [math(X)]의 부분집합들의 집합족 중 유한교집합성질을 만족하는 상한(上限)이다.
[3]
즉 집합족들을 모은 "초집합족"이다.
[4]
여기서 [math(\alpha)]는 인덱스 집합(index set) [math(J)]의 원소이다.
[5]
[math(\pi)]는 물론 투영사상(projection).