충격파 이론

1. 개요2. 충격파의 속도3. 발생 형태4. 이용5. 응용 계산

1. 개요

충격파는 서로 다른 교통류 간에 속도 변화로 발생하는 파동(전이현상)을 말한다. 교통류에 유체역학을 도입하여 설명하는 이론이다.

2. 충격파의 속도

[math( w_{AB} = \dfrac {q_A-q_B}{k_A-k_B})]

[math(w)] : 충격파속도 (km/h)
[math(q)] : 교통량(대/h)
[math(k)] : 밀도(대/km)

3. 발생 형태

서로 다른 두 밀도의 교통류에서 발생하는 충격파
고속도로의 터널 구간에서 교통정체가 발생하여 정체차량군이 형성되었을 때 해당 정체가 시간에 따라 후방으로 이동하는 현상이 이것이다.

[math(U_w = U_f [1 - (n_1 + n_2) ] )]

[math(U_f)] : 자유속도
[math(n)] : 밀도

두 교통류의 밀도가 거의 유사한 경우 발생하는 충격파(=불연속파)

[math(U_w = U_f (1 - 2n ) )]

정지에 의한 충격파
신호가 녹색에서 적색으로 바뀌었을 때 앞서 정지된 차들을 따라 뒤로 정차하며 발생하는 현상이다.

[math(U_w = -U_f n_1)]

출발에 의한 충격파
신호가 적색에서 녹색으로 바뀌었을 때 선행 차량들이 먼저 출발하고 후행 차량들이 연달아 속도를 낼 때 발견할 수 있는 현상이다.

[math(U_w = -(U_f - U_2))]

4. 이용

신호교차로의 대기 분포, 병목현상, 주차장 유출입부의 대기 분포, 사고지점의 교통정체, 엇갈림구간의 위빙현상, 램프미터링을 위한 교통류 산출, 편도 1차로 도로에서 선행 저속차량의 영향 등에 사용된다.

5. 응용 계산

교통량([math(q_1)])이 1,000대/시, 속도([math(u_1)]) 80km/h인 추월 불가능한 왕복 2차로 도로에서 사고로 인해 10분간 도로가 차단되었다. 대기행렬의 혼잡밀도([math(k_2)])가 100대/km일 때 충격파 방향과 속도를 구하라.

혼잡 이전의 밀도
[math(k_1 = \dfrac {q_1}{u_1} = \dfrac {1000}{80} = 12.5)]대/km

혼잡 중의 교통량은 해당 구간의 모든 차량이 움직일 수 없으므로,
[math(0)]대/시

따라서, 충격파의 속도는
[math( w_{12} = \dfrac {q_1-q_2}{k_1-k_2} = \dfrac {1000 - 0}{12.5 - 100} = -11.43)]km/h

결과값이 음수 이므로 이 충격파는 후방(상류 방향)으로 11.43km/h의 속도로 이동한다.

편도 3차로인 고속도로에서 정지상태의 차량행렬로부터 출발하는 교통량이 1,000pcphpl이고 첨두시간 도착 교통량이 4,000pcph이다. 첨두시간에 20분간 1개 차로가 차단되어 정체차량군이 형성된 경우 20분 후에 정체차량군이 해소되는데 필요한 시간과 최대 대기행렬 차량대수를 구하라.

3개 차로의 시간당 교통량은
[math( 1,000 \times 3 = 3,000)]대/시

3차로의 20분간 교통량은 20분간 2개 차로를 통행하는 도착 교통량과 그 이후 3개 차로를 통행하는 도착 교통량의 합과 같다.
따라서, 해소시간을 T라 두면,
[math( 3,000 \times \dfrac T{60} = 4,000 \times \dfrac 23 \times \dfrac {20}{60} + 4,000 \times (\dfrac T{60} - \dfrac {20}{60}))]

해소시간은
[math( T = 26.67)]분이다.

최대대기행령 차량대수는 20분간 교통량에서 20분간 2개 차로를 통해 진출한 도착교통량을 빼면,
[math(N = 3,000 \times \dfrac {20}{60} - 4,000 \times \dfrac 23 \times \dfrac {20}{60} = 111.11)]

[math( N = 112)]대이다.