지뢰 찾기/찍기

상위 문서: 지뢰 찾기

1. 개요

지뢰 찾기에 등장하는 찍기 패턴에 대해 정리한 문서.

검은 셀: 벽
진한 회색 셀: 숫자가 없는 열린 블록
붉은 셀: 지뢰
n: 숫자가 있는 열린 블록
S: 안전 지대 (지뢰가 없는 닫힌 블록)
?: 알 수 없음.

오른쪽 맨 위에 보면 2칸 중에 5:5 확률로 찍어야 하는 상황도 있다. 위 그림처럼 지뢰가 한 칸인데 남은 칸은 두 칸이고 둘 중 어디에 묻혀 있는지 알 수 없는 상황이 오는데, 운 나쁘게 지뢰를 밟아버리는 안타까운 상황도 발생한다.[1]

이처럼 지뢰찾기는 규칙이 간단한 게임이지만 실력으로만 필승할 수 있다는 보장이 결코 없는 게임이다. 지뢰가 어디에 있는지 절대 확신할 수 없는 구성으로 게임이 진행되어 결국 찍어야 하는 상황이 생길 수 있고, 특히 고급이면 칸이 넓다 보니 이런 상황이 나타날 확률이 굉장히 높다. 고급뿐만 아니라 중급, 심지어는 초급에서도 나타날 수 있다. 이론적으로는 지뢰가 3개 이상이면 이러한 형태가 나타날 수 있다.

물론, 찍기처럼 보여도 풀어낼 방법이 존재하는 경우도 있다. 위 그림처럼 5:5 찍기가 마지막 순간에 나온 것이 아니라면, 다른 곳을 먼저 열다 보면 답이 나오는 경우도 존재한다. 또한, 후반부에는 보드만 보면 찍기인데 남은 지뢰 수를 따져 보면 찍기가 아닌 경우도 존재한다! A가 지뢰여도 B가 지뢰여도 논리적으로 문제가 없지만, A를 지뢰라고 가정한 경우와 B를 지뢰라고 가정한 경우 특정 구간에서 도출되는 지뢰 개수가 서로 다른 경우가 있는데, 이렇게 되면 남은 지뢰 수를 보고 답을 알 수 있다.

더 복잡한 상황에서는 칸마다 확률이 다른 경우가 있는데, 대표적인 예가 일렬로 늘어선 칸 3개 중 지뢰가 하나 남은 경우다. 가운데에 있는 칸을 선택하면 맞더라도 50% 확률을 다시 뚫어야 하지만, 끝에 있는 칸 중 하나를 열면 그 칸에 있는 숫자가 힌트를 줘서 2/3의 확률로 이길 수 있다.

이러한 찍기의 유형은 다음과 같다. 찍기를 구성하지 않는 나머지 확정된 지뢰를 제외하고 숫자를 계산했을 때 아래의 형태와 일치하면 역시 찍기이다.[2] 괄호 안은 그 형태를 구성하는 데 필요한 지뢰의 개수.

2. 지뢰 벽

2개 중에 하나를 찍는 형태로 성공 확률은 50%이다. 주변의 숫자를 보면 2개 중에 하나가 지뢰임을 확실히 알 수 있기에, 남은 지뢰 개수 등 전체적인 상황과 무관하게 각 칸이 지뢰일 확률은 50%로 일정하다. 이 찍기가 나왔다면 차라리 먼저 찍어서 터트리든지 운 좋게 안 터트리고 속행하든지 빨리 치워버리는 편이 정신 건강에 좋다.

귀퉁이 (3)

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변 1 (5)

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변 2 (4)

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중앙 (7)

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2.1. 응용형 1

[math(3n+2)]칸 중에 [math(n+1)]칸이 지뢰인 형태로,

로 표시된 칸 중 어느 1개가 지뢰인지 안전지대인지에 대한 확정적인 정보가 있다면 나머지 칸은 자동으로 해결된다. 그림에서는 [math(n=1)], 즉 5칸 중 2칸이 지뢰인 경우를 보여준다.

귀퉁이 ([math(n+3)])

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변 1 ([math(n+5)])

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변 2 ([math(n+4)])

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중앙 ([math(n+7)])

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Windows 구 버전의 초급 난이도처럼 판의 가로 또는 세로 길이가 8인 경우, 다음 그림과 같이 지뢰 단 3개만으로 이러한 형태를 구현할 수 있다. 찍기를 구성하는 지뢰 주변의 숫자가 밖에 없다. 그것도 아직 드러나지 않은 숫자를 포함해서. 만약 가로 또는 세로 길이가 5이면 이론상으로 찍기를 구현하는 데 필요한 지뢰의 개수인 3개보다도 더 적은 2개만으로도 구현할 수 있다. 판의 특정 방향의 길이가 충분히 긴 경우는 발생할 수 없고, 극도로 짧아서 생기는 특수한 형태이다. 판의 가로 또는 세로 길이가 [math(3n+2)] 꼴이면 이렇게 지뢰 주변의 숫자가

밖에 없는 찍기를 구현할 수 있다.

<colbgcolor=black>			<colbgcolor=black>

	S	S

2.2. 응용형 2

[math(3n+2)]칸 중에 [math(2n+1)]칸이 지뢰인 형태로, 역시 ?로 표시된 칸 중 정보가 있으면 나머지는 자동으로 해결된다. 그림에서는 [math(n=1)], 즉 5칸 중 3칸이 지뢰인 경우를 보여준다. 앞의 응용형 1에서 S로 표시된 부분이 지뢰로 바뀐 것을 알 수 있다. 나머지 ? 표시된 부분은 똑같이 미확정.

귀퉁이 ([math(2n+3)])

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변 1 ([math(2n+5)])

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변 2 ([math(2n+4)])

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중앙 ([math(2n+7)])

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n}}} ||

2.3. 중복형


	?¹	?²
n	?¹	?²	n
n			n

이와 같은 형태가 위 그림과 같이 중복되어 나타날 수 있다. 위 경우처럼 2번 중복된 경우,

?¹

의 2칸 중 1칸, 그리고

?²

의 2칸 중 1칸이 각각 독립적으로 지뢰이므로, 지뢰를 성공적으로 찾을 확률은 25%이다. [math(n)]번 중복될 때 각각의 부분에 대해서 50%의 확률로 성공하므로, 이때 성공 확률은 [math(\left(\frac{1}{2}\right)^n)]이다.

상술한 기본형 및 응용형을 기준으로, 위치에 따라 [math(n)]번 중복된 형태를 만드는 데 필요한 지뢰의 개수는 다음과 같다.

귀퉁이 : [math(2n+1)] 개
변 1 : [math(3n+2)] 개
변 2 : [math(2n+2)] 개
중앙 : [math(3n+4)] 개

즉, 초급에서도 귀퉁이나 변 2의 형태인 경우 이론상 최대 4번까지 중복이 발생할 수 있다. 실전에서 그럴 확률은 극히 드물다는 것이 함정.

3. 정사각형 4칸

4개 중에 2개를 찍는 형태로 성공 확률은 50%이다. 지뢰 2개 중 하나의 위치가 결정되면 이에 따라 안전지대의 위치 및 나머지 지뢰의 위치도 자동으로 결정되기 때문.

표시된 칸 중 지뢰는 서로 대각선의 위치에 있다.

귀퉁이 (3)

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?¹

?²

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n}}} ||

?³

?⁴

|| ||

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n}}} ||

|| ||

이 경우에는 전체에서 나머지 지뢰를 모두 찾고 남은 지뢰가 2개인 경우에만 찍기이며, 1개 또는 3개인 경우에는 찍기가 아니다. 1개 남는 경우에는 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

?³}}}만 지뢰이며, 3개 남는 경우에는

?¹

?²

?⁴

가 지뢰이고

?³

이 안전지대이다. 이러한 형태가 2곳에서 발견되는 경우, 나머지 지뢰를 모두 찾은 다음 전체에서 지뢰가 2개 또는 6개 남는 경우에는 양쪽 모두 지뢰가 각각 1개 또는 3개인 경우로 결정되므로 찍기가 아니다. 따라서 이런 형태를 발견하면 일단 나머지 지뢰들을 끝까지 찾아보고 몇 개가 남는지 확인하자. 실전에서는 중급 이하인 경우 1개 남는 경우가 대부분이며, 고급의 경우에도 2~3개인 경우도 있지만 1개 남는 경우가 꽤 많이 발생한다.

변 (4)

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n}}} ||

n}}} ||<bgcolor=red> ||

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중앙 (6)

n}}} ||

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n}}} ||

||

단, 변의 형태라도 아래 그림처럼 한쪽이 지뢰 벽인 경우 사실상 귀퉁이로 간주해야 한다. 즉 판의 나머지를 모두 찾은 후 남은 지뢰가 1개나 3개일 경우 각각

?³

만 지뢰,

?¹

?²

?⁴

가 지뢰인 경우로 찍기가 아닐 수 있다.


		?¹	?²
n		?³	?⁴
n
n	n	n	n	n

이쪽의 경우도 지뢰 벽처럼 아래와 같이 중복형이 생길 수 있다. [math(n)]번 중복된 형태(아래는 2번)를 구성하는 데 필요한 지뢰의 개수는 [math(3n+1)]개.

4. 직사각형 6칸 (L자 모양 4칸)

자주 나타나지는 않지만, 닫힌 칸이 직사각형 6칸(또는 경우에 따라 L자 모양 4칸)이 있는 다음과 같은 형태도 있다. 여기서는

?^A

?^B

의 총 4칸 중

?^A

의 2칸 또는

?^B

의 2칸만 각각 모두 지뢰인 경우밖에 없으며, 성공 확률은 50%이고, 이를 해결한 경우 나머지는 추론으로 해결 가능하다. 판의 나머지 부분을 다 찾은 후 지뢰가 2개밖에 안 남아서

로 표시한 것 외의 나머지 2칸을 해결하는 것은 찍기를 해결하는 데 도움이 되지 않는다. 보통 형태를 구성하는 지뢰 수가 비교적 적은 귀퉁이 또는 변의 형태로 나타나며, 지뢰가 10개 필요한 중앙의 형태로는 거의 나타나지 않는다.

귀퉁이 1 (4)

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?^A

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?^B

?^A

?^B

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귀퉁이 2 (5)

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?^A

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}}} ||

?^B

?^A

?^B

|| ||

상술한 지뢰 벽의 '변 2'에서의 형태를 포함한다.

귀퉁이 3 (6)

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?^A}}} ||

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?^A

?^B

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상술한 지뢰 벽의 귀퉁이에서의 형태를 포함한다.

귀퉁이 4 (6)

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?^A

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위 그림에서 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

?^A}}},

?^B

를 제외한 칸을 열기 전까지는 이 형태인지 알 수 없다.

변 1 (7)

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?^A

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?^B

?^A

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변 2 (7)

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?^A

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변 3 (7)

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?^A

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?^B

?^A

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상술한 지뢰 벽의 '변 2'에서의 형태를 포함한다.

변 4 (8)

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?^A}}} ||

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?^A

?^B

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중앙 (10)

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?^A

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}}} ||

?^B

?^A

?^B

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}}} ||

5. 직선 3칸

이 형태는 특이하게도 3칸 중 지뢰가 1개 또는 2개 있을 수 있다. 1개 있을 때와 2개 있을 때 각각 지뢰의 위치가 하나로 결정되므로, 단독으로만 있으면 나머지를 다 해결했을 때 남은 지뢰 수를 보고 어느 곳에 지뢰가 있는지 알 수 있다. 따라서 단독으로는 찍기를 구성하지 못하며, 이러한 형태가 2곳 이상 있거나, 다른 형태의 이와 같은 지뢰 개수 가변형 찍기가 다른 곳에 있어야지만 찍기가 될 수 있다. 2곳 이상 있어도 예를 들어 2곳에 있는데 나머지를 다 찾은 다음에 남은 지뢰가 2개 또는 4개인 경우와 같이 한 가지로 결정되면 찍기가 아니게 된다.

아래 그림들을 기준으로

?^A

로 표시한 칸(2개)만 모두 지뢰이거나,

?^B

로 표시한 한 칸만 지뢰인 경우가 있을 수 있다.

귀퉁이 (4 or 5)

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?^A

?^B

?^A

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변 1 (6 or 7)

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?^A

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변 2 (6 or 7)

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중앙 (9 or 10)

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?^A

?^B

?^A

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}}} ||

6. 끊어진 4칸

아래 그림을 기준으로 확정되지 않은 칸이 총 4칸이 있는데, 2개씩 2군데로 서로 떨어져 있는 형태이다.[3]

?^A

부분의 두 곳 중 하나,

?^B

의 두 곳 중 하나가 지뢰이며 이들 두 부분의 지뢰 위치는 서로 독립적이므로 총 4가지 경우가 존재한다. 재미있는 점은 서로 붙어 있는 미확정 칸 2개 중 확정된 지뢰 3개가 ㄱ자 모양으로 배치되어 있는 부분과 가까이 있는 곳을 찍었는데 안전지대이면 이후는 추론만으로 해결이 가능하지만 (성공 확률 50%), 멀리 떨어진 곳(즉 지뢰 3개가 직선으로 배치된 부분)을 찍어서 안전지대이면 나머지 부분이 상술한 '지뢰 벽'의 변 2 또는 중앙에서 발생하는 형태와 같아지므로 찍기로 해결해야 한다는 것이다. (성공 확률 25%) 따라서 확정된 지뢰가 ㄱ자 모양인 부분과 가까운 칸을 찍는 것이 보다 유리하다.

아래 그림들을 기준으로 X로 표시된 곳이 지뢰가 아닌 경우[4]에도 그곳을 열었을 때 나오는 숫자가

(중앙 기준)이면 찍기가 되는데, 이때는 아래 그림 기준

?^A

부분의 위쪽과

?^B

부분의 왼쪽이 지뢰인 경우, 그리고

?^A

부분의 아래쪽과

?^B

의 오른쪽이 지뢰인 경우의 2가지 경우의 수 중에서 하나를 찍어야 한다. 경우의 수가 2가지로 줄어서 한쪽을 해결하면 나머지를 추론 가능하므로 성공 확률은 50%.

귀퉁이 1 (5)

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}}} ||

?^A

|| ||

}}} ||

?^A

|| ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> X ||

?^B

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}}} ||

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}}} ||

|| ||

'지뢰 벽'의 변 2의 형태가 최대 2개 나타날 수 있다.

귀퉁이 2 (7)

}}} ||

?^A}}} ||

||<bgcolor=red> ||

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?^B

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'지뢰 벽'의 변 1의 형태가 최대 2개 나타날 수 있다. X가 지뢰가 아니라면

일 때 찍기이다.

변 1 (8)

}}} ||

?^A

}}} ||

?^A

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}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> X ||

?^B

||<bgcolor=red> ||

}}} ||

||<bgcolor=red> ||

}}} ||

'지뢰 벽'의 변 2의 형태가 1개, 중앙의 형태가 1개 나타날 수 있다.

변 2 (9)

}}} ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||

}}} ||

?^A

}}} ||

?^A

||<bgcolor=red> ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> X ||

?^B

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'지뢰 벽'의 변 1의 형태가 1개, 중앙의 형태가 1개 나타날 수 있다. X가 지뢰가 아니라면

일 때 찍기이다.

중앙 (11)

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||

}}} ||

?^A

}}} ||

?^A

||<bgcolor=red> ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> X ||

?^B

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}}} ||

||<bgcolor=red> ||

}}} ||

'지뢰 벽'의 중앙의 형태가 최대 2개 나타날 수 있다.

7. n칸 중 k칸이 지뢰인 경우

지뢰 찾기에서 찍기의 대표적인 두 가지 형태인 지뢰 벽이나 정사각형 4칸만큼 흔하지는 않지만, 다음과 같이 n칸 중 k칸이 지뢰인 경우를 간혹 마주칠 수 있다. 이 경우에는 어느 곳을 먼저 찍느냐에 따라 성공 확률이 달라지므로 전략적으로 접근해야 하는 경우가 많다. 예를 들면 다음과 같다.

3칸 중 1칸 또는 2칸이 지뢰인 경우

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}}} ||<bgcolor=red> ||

|| ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||

||<bgcolor=red> || ||

}}} ||

|| ||

위와 같은 경우가 찍기가 되려면 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}의 값이

(3개 중 1개) 또는

(3개 중 2개)여야 한다.

'''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

A}}},

3칸 중 1칸이 지뢰인 경우이다. 이때 먼저

를 찍으면

가 지뢰인 경우 바로 실패하고, 안전지대인 경우

와

중 하나만 반드시 지뢰이므로

는 숫자

이 된다. 따라서

와

중 반반의 확률로 찍어야 하는 형태가 된다. 처음에

를 찍어서 지뢰가 나올 확률이 [math(\frac{1}{3})],

가 안전지대일 때 성공할 확률이 [math(\frac{1}{2})]이므로 성공 확률은 [math(\left(1-\frac{1}{3}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3})], 즉 약 33%가 된다. 반면

또는

를 먼저 찍는 경우, 그곳이 지뢰일 확률은 [math(\frac{1}{3})]이고, 나머지 경우 해당 칸의 숫자를 보고 나머지 칸 중 어느 곳이 지뢰인지 추론할 수 있으므로 성공 확률은 [math(\frac{2}{3})], 즉 약 67%로 2배 높아진다.

'''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

3칸 중 2칸이 지뢰이다. 이때는 한 칸을 찍은 다음 그 칸의 숫자를 보고 추론하여 지뢰의 위치를 파악하는 것이 앞선 경우와 달리 불가능하다. 임의의 칸을 눌렀을 때 그 칸이 지뢰가 아니면 성공, 지뢰이면 실패이므로 성공 확률은 [math(\frac{1}{3})], 즉 약 33%이다.

5칸 중 1~4칸이 지뢰인 경우

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}}} ||<bgcolor=red> ||

|| ||

}}} ||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||

|| ||

}}} ||

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|| ||

}}} ||

||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> || ||

}}} ||

|| ||

n}}}의 값이

이상

이하여야 한다.

'''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

5칸 중 1칸이 지뢰인 경우이다. 5칸 중 아무 곳이나 눌러도 그곳이 지뢰가 아니라면, 지뢰가 어디 있든 숫자 정보를 통해 지뢰의 위치를 최종적으로 추론해낼 수 있다. 따라서 성공 확률은 80%.
* '''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

5칸 중 2칸이 지뢰인 경우이다. 처음에 찍는 곳은 무조건 안전지대라고 가정할 때, 처음에 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

A}}}를 찍는 경우

와

가,

를 찍는 경우

와

가 각각 지뢰인 경우에만 최종적으로 지뢰의 위치를 추가적인 찍기 없이 추론할 수 있다.

를 찍은 경우,

3칸 중 2칸이 지뢰이고

가 지뢰가 아닌 경우에만

에 있는 숫자를 통해 이를 알 수 있고, 따라서 추가적인 찍기가 불필요하다.

를 찍은 경우도 대칭에 의해 마찬가지.

를 찍은 경우,

와

또는

와

가 지뢰인 경우에만 추가적인 찍기가 불필요하다.

'''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

5칸 중 3칸이 지뢰인 경우이다. 마찬가지로 처음에 찍는 곳이 무조건 안전지대일 때, 처음에 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

A}}}와

를 찍으면

와

가 각각 안전지대인 경우에만,

와

를 찍으면 반대로

와

가 각각 안전지대인 경우에만 추론만으로 해결할 수 있다.

를 찍으면 나머지 지뢰의 위치와 관계없이 추가적인 찍기가 필요하다.

'''{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; border-top: medium solid gray; border-left: medium solid gray; background-color: silver; font-size: 1em; color: purple; display: inline-block; text-align: center;"

n}}}=

인 경우'''

5칸 중 4칸이 지뢰인 경우이며, 3칸 중 2칸이 지뢰인 경우처럼 한 칸을 찍은 다음 그 칸의 숫자를 보고 다른 칸을 추론할 수 없다. 따라서 성공 확률은 20%이다.

<colbgcolor=black>

}}} ||<bgcolor=red> ||

|| ||

}}} ||<bgcolor=red> ||

|| ||

}}} ||

||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> || ||

}}} ||

|| ||

단, 이렇게 전략적으로 찍기를 할 수 없는 경우도 있다. 예를 들어 위와 같이 남아 있는 닫힌 칸이 가로, 세로, 대각선으로 모두 서로 인접한 경우에는 답이 없다. 위 그림에서는

로 표시한 닫힌 칸 3곳 중 한 곳이 지뢰인데,

로 표시된 곳 중 어느 하나를 열든 그곳이 안전지대라도 남아 있는 지뢰의 위치에 관계없이 그 칸의 주변 8칸 중 지뢰의 개수는 고정되어 있으므로, 찍기를 추가로 하는 것밖에는 답이 없다. 위 형태의 경우에는 상술한 '지뢰 벽'의 귀퉁이 형태를 반드시 포함한다.

8. 지뢰로 완전히 둘러싸인 경우

					<colbgcolor=black>

			X

위 그림처럼 특정 부분이 지뢰로 완전히 둘러싸여 있어서 어쩔 수 없이 찍어야 하는 경우가 있다. 이 경우에는 어쩔 수 없이 찍어야 하는데, 고급 기준으로 지뢰 비율이 약 20.6%에 불과하므로 생각보다 지뢰 밀도는 그리 높지 않다. 따라서 일반적으로는 이와 같은 경우 둘러싸는 지뢰를 제외하고 그 안에 지뢰가 한 개도 없거나, 있더라도 1~2개 정도인 경우가 대부분이다.

이때는 먼저 나머지 부분을 모두 찾아서 그 안쪽에 있는 지뢰의 개수를 파악해야 한다. 지뢰가 1~2개 정도인 경우, 추가적인 찍기 없이 추론만으로 나머지를 해결할 수 있도록 가장자리 부분을 찍는 것이 유리하다. 지뢰가 1개뿐인 경우, 가장자리 칸을 찍어서 숫자가 나왔을 때 그 숫자가 둘러싸는 지뢰만으로 채워지면 (즉 해당 숫자 주변에 한해서는 그 안쪽에 더 이상 지뢰가 없으면) 칸을 열어나가면 되고, 그렇지 않으면 그 숫자 주변을 제외한 나머지 칸에 지뢰가 한 개도 없다는 뜻이므로 나머지 칸들을 열어나가면 된다. 반면 가운데를 찍는 경우는 이러한 이득을 보는 것이 어려운데, 예를 들어 위 그림에서 가운데 부분의

를 찍으면 그 칸이 안전지대라 해도 둘러싸인 부분 안쪽에 있는 모든 지뢰가 그 칸 주변에 있게 되므로, 안쪽 지뢰(들)의 위치에 관계없이 추가적인 찍기가 필요하다.

이렇게 최대한 전략적으로 안쪽을 열어가면, 처음에 실패할 확률을 고려하더라도 일반적으로 그 외에 열어가는 도중에 실패하는 경우는 거의 없으므로, 안쪽의 (지뢰 개수) / (전체 칸 개수) 가 20% 정도이면 성공 확률이 70% 이상은 된다고 보면 된다.

									<colbgcolor=black>

위와 같이 지뢰로 둘러싸인 곳이 여러 개 있는 경우, 그 안쪽에 있는 칸이 각각 단 한 개씩이라도 찍기가 될 수 있다. 예를 들어 위 그림과 같은 경우, 나머지 부분의 지뢰를 모두 찾은 후 남은 지뢰가 0개(안쪽은 모두 안전지대) 또는 2개(안쪽은 모두 지뢰)이면 상관없지만, 1개인 경우 어느 곳이 지뢰이고 안전지대인지 추론할 수 없다.

이런 식으로 다소 복잡한 경우도 있다. 사진에서 빨간색 점은 50%, 파란색 점은 33.3% 확률로 지뢰이고 나머지 칸은 16.7% 확률로 지뢰이다. 이런 경우는 숫자들로부터 두 칸 떨어진 곳을 찍는 것이 좀 더 유리하다. 아래쪽의 가운데 두 칸이 지뢰가 아닐 경우, 마지막 2개의 지뢰에서 25%의 확률에 걸려 최종적으로 이 판을 이길 확률은 낮으면 10%대 초반까지 내려간다.[5]

9. 확률이 동등하지 않은 찍기

언뜻 보기엔 확률이 동등한 5:5 찍기이나 실제로는 아닌 경우도 있다. 아래는 경우의 수를 활용한 확률계산 기본사례와 응용사례, 일반화를 설명한다.

9.1. 확률계산 기본사례

전체 지뢰 수: 5개
남은 지뢰 수: 2개

}}} ||

||<bgcolor=red> ||

}}} ||

?^A

}}}||

?^B

확률계산기

위 보드의 남은 지뢰 수는 2개이므로, 이를 확정적으로 해결하는 방법은 존재하지 않는다. 그러나

와

의 확률은 동등하지 않다. 만약

에 지뢰가 있다면, 나머지 지뢰 하나는 좌하귀 한 곳 밖에는 존재할 수 없다. 즉 경우의 수가 하나뿐이다. 그러나 만약

에 지뢰가 있다면,

칸이 지뢰가 없는 칸으로 확정되지만

근처 나머지 두 칸 가운데 어느 쪽이건 지뢰가 들어갈 수 있다. 즉 경우의 수가 두 개가 된다.

결론적으로, 경우의 수에 따라

에 지뢰가 있을 확률은 [math(\frac{1}{3})]로 약 33%,

에 지뢰가 있을 확률은 [math(\frac{2}{3})]로 약 67%가 된다.

9.2. 확률계산 응용사례

위 빨간점/파란점이 표시된 보드의 일부를 보자. 지뢰의 수는 통상적인 고급난이도의 지뢰밀도를 고려해 아래와 같이 임의로 설정하였다.
전체 지뢰 수: 9개
남은 지뢰 수: 3개

}}} ||

||<bgcolor=red> ||<bgcolor=red> ||

}}} ||

?^A

?^C}}} ||

?^A

?^B

?^C}}} ||

||<bgcolor=red> ||

}}} ||<bgcolor=red> ||
확률계산기

여기서 주어진 정보에 한해서는

의 확률이 각 50%로 추정됨을 쉽게 알 수 있을 것이다.

타일 위

와

두 칸 가운데 지뢰가 한 개로 확정되기 때문이다. 그렇다면

와

타일의 확률은 동등한가? 그렇지 않다.

두 개의

타일이 지뢰 한 개를 차지하므로, 보드에는 지뢰가 두 개 더 배치된다. 이번에도 경우의 수를 따져보자.

{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

A}}}에 지뢰가 있는 경우:

가 빈칸이라면

와

에 따라

칸 두 개 모두에 지뢰가 있음을 알 수 있다. 앞서 언급한 C를 제외하고 보드에 배치할 지뢰는 두 개뿐이므로, 두

칸을 채우는 경우가 유일한 경우로 확정되고, 단서가 없는 나머지 4개 칸은 모두 지뢰가 없는 것으로 결정된다. 경우의 수는 1개.

{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

B}}}에 지뢰가 있는 경우: 반대로 두

칸 모두 지뢰가 없는 칸으로 확정된다. 지뢰는

하나에만 배치되므로, 남은 지뢰 한 개가 단서가 없는 나머지 네 칸 가운데 하나에 들어가야 한다. 단서가 없어 네 칸 중 어느 곳이라도 들어갈 수 있으므로 경우의 수는 4개.
결론적으로, 경우의 수에 따라

에 지뢰가 있을 확률은 [math(\frac{1}{5})]로 20%,

에 지뢰가 있을 확률은 [math(\frac{4}{5})]로 80%가 된다.

9.3. 확률계산 일반화

고급난이도 보드 좌상단 귀퉁이를 누르자 다음과 같은 오프닝이 나왔다고 생각해보자.

<colbgcolor=black>

}}} ||

?^A

}}} ||

?^B

}}} ||

||<bgcolor=red> ||

?^C}}} ||

?^C

?^A

||
확률계산기

위 보드의 지뢰를 배치하는 방법을 간략히 정리하면,

두 칸 중 하나가 지뢰 (50%), 그리고

두 칸에 지뢰가 들어가거나

한 칸에 지뢰가 들어가게 된다. 이제 경우의 수를 따져야 하는데, 고급난이도 보드의 크기는 가로 30칸 * 세로 16칸, 지뢰는 총 99개이다. 단서가 있는 위 12개 칸을 뺀 단서가 전혀 없는 나머지 칸은 총 480-12=468칸이고, 여기서 경우의 수를 계산하려면 아래와 같다.

{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

A}}} 두 칸에 지뢰가 있는 경우: 남은 468개 칸에 지뢰 99-4=95개가 들어가므로, [math({}_{468}{\rm C}_{95})]

{{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: black; display: inline-block; text-align: center;"

B}}} 한 칸에 지뢰가 있는 경우: 남은 468개 칸에 지뢰 99-3=96개가 들어가므로, [math({}_{468}{\rm C}_{96})]
물론 이걸 지뢰찾기 하다 계산하는건 말이 안 된다. 하지만 두 케이스를 비교할 때 남은 보드에 뿌려야 할 지뢰의 수가 한 개 차이라면, 각 확률을 상대적으로 쉽게 추측할 수 있다. 공식의 유도는 조합 문서를 적절히 참조하고, 결론만 내면 다음과 같다.

[math(\begin{aligned} \frac{{}_{n}{\rm C}_{r}}{{}_{n}{\rm C}_{r}+{}_{n}{\rm C}_{r+1}}=\frac{r+1}{n+1} \end{aligned})]

즉. 전체 경우의 수 중

두 칸에 지뢰가 있는 경우의 수의 비율, 달리 말하면

두 칸에 지뢰가 있을 확률은 [math(\frac{96}{469})] 약 20.5% 정도가 된다. 이게 아니면 무조건

한 칸에 지뢰가 있다는 결론이 되므로, 그쪽의 확률은 나머지 확률인 약 79.5%이다. 즉, 위 상황에서

를 누르는 것은 B,C와 확정된 지뢰를 제외한 아무 칸을 누르는 것 만큼이나 안전하다!

위 공식을 말로 풀어서 정리하면, 아래와 같이 일반화할 수 있다.

n개 칸이 남아있고 r개 지뢰가 남아있을 때, 주어진 p개의 칸을 채우는 방법이 두 가지 뿐이고, 두 방법이 지뢰를 각각 q개, q+1개 소모한다면, q+1개를 소모하는 방법이 맞을 확률은 [math(\frac{r-q}{n-p+1})] 이다.

그런데, 보통 찍기를 하면 칸 3~4개를 지뢰 1개로 채울지 2개로 채울지 정도에서 찍기 마련이고, 남은 칸수(n)가 적다면 경우의 수를 직접 세어보면 그만이다. 따라서, 위 확률을 n과 r이 충분히 크고 p와 q가 충분히 작을 때 사용한다고 전제하면, 아래와 같이 근사할 수 있다.

n개 칸이 남아있고 r개 지뢰가 남아있을 때, 주어진 p개의 칸을 채우는 방법이 두 가지 뿐이고, 두 방법이 지뢰를 각각 q개, q+1개 소모한다면, q+1개를 소모하는 방법이 맞을 확률은 [math(\frac{r}{n})] 이고, 이는 보통 해당 보드의 지뢰 밀도이다.

보드의 지뢰 밀도는 난이도에 따라 다르지만 12~21% 내외이므로, 지뢰를 한 개 더 소모하는 방법이 맞을 확률이 10~20%에 불과한 반면, 지뢰를 한 개 덜 소모하는 지뢰 배치방법이 맞을 확률은 80~90%에 수렴한다. 즉, 보드 위 아무 칸을 깜깜이로 찍었을 때 지뢰가 아닐 확률과 유사한 확률로 언뜻 보기에는 5:5처럼 보이는 찍기를 해결할 수 있다는 뜻이다.

공식을 더 추상화하면 다음과 같다. 물론 앞서 언급한 전제조건을 모두 떼어냈기 때문에 확률 계산이 다른 경우도 있을 수 있고, 확률이 10~20%임에도 이를 뚫고 지뢰가 나타날 수도 있다. 그래도 많은 상황에서 유용한 원칙으로 작용한다.

지뢰를 더 적게 소모하는 방법이 맞을 확률이 높다.[6]

10. 찍기를 피하는 방법

이러한 찍기를 피하려면 처음에 귀퉁이를 클릭해서[7] 그 확률을 조금이나마 줄여야 한다. 일반적으로 찍기를 구성하는 데 필요한 지뢰의 개수는 귀퉁이 < 변 < 중앙이므로, 이들 지뢰가 우연히 찍기 형태로 배치될 확률, 즉 찍기가 나타날 확률은 귀퉁이 > 변 > 중앙이다. 즉 찍기는 중앙보다는 변, 변보다는 귀퉁이에서 더 자주 발생한다. 그런데 처음에 클릭한 칸은 항상 지뢰가 아니고, 최신 Windows 버전에서는 그 칸의 주변 8칸까지 지뢰가 아니므로, 이 부분에서 원래대로라면 발생했을지도 모르는 찍기의 가능성이 없어진다. 그렇다면 어느 곳을 선택해야 찍기 발생 가능성을 가장 많이 줄일 수 있을까? 당연히 찍기가 자주 발생하는 귀퉁이 부분이다.

또한 상술했듯이 특정한 형태는 남아 있는 지뢰의 개수에 따라 찍기일 수도 있고 아닐 수도 있으므로, 이러한 형태가 나온다면 나머지 지뢰를 일단 모두 찾은 다음에 찍기인지 아닌지 판단해야 하며, 찍기인 경우 추가적인 찍기가 최대한 줄어들고 성공 확률이 최대한 높아지도록 어느 칸부터 먼저 클릭할지 전략적으로 접근해야 한다.

반면 그렇지 않은 경우, 즉 형태를 구성하는 지뢰의 개수가 일정해서 남아 있는 지뢰의 개수를 이용하여 찍기인지 아닌지 파악할 수 없는 경우, 게임 시간 절약을 위해서는 성패 여부에 관계없이 그냥 그 부분을 빨리 해결하는 것이 좋다. 성공하는 경우 해결 순서에 상관없이 시간이 비슷하지만, 실패하는 경우 찍기를 먼저 해결하려고 시도한 경우가 찍기를 마지막에 해결하려고 한 경우보다 시간이 적게 들기 때문이다. 이는 찍기 자체보다는 이로 인한 시간 낭비를 피하는 방법에 가깝다.

판이 쫙 열린 후 지뢰를 본격적으로 찾는 시점에서 귀퉁이에서의 찍기 발생을 대부분 방지하려면 처음에 귀퉁이 네 곳의 칸을 하나씩 찍은 다음 진행하면 된다. 귀퉁이에서의 찍기 형태에서 이들 네 곳이 찍어야 하는 위치 중 하나인 경우가 굉장히 많기 때문. 이렇게 하면 판이 쫙 열리는 경우가 많이 생기기 때문에 성공 가능성도 높일 수 있다.

11. 여담

판을 아무리 살펴봐도 도저히 답이 나오지 않을 때는, 게임을 처음 시작할 때처럼 이미 열린 칸들과 멀리 떨어진 '미지의 세계'를 공략하는 것도 하나의 방법이다. 이미 열린 칸들과 인접한 칸을 눌렀을 때의 성공 확률은 보통 1/3, 1/2 또는 2/3 정도이지만, 미지의 세계의 경우 지뢰 비율이 고급 기준 20.6% 정도로 무작정 찍었을 때 지뢰일 확률이 이보다 낮기 때문이다. 심지어 이렇게 찍으면 지뢰일 확률이 높은 곳을 제외하고 찍는 것이므로 실질적으로는 20%도 안 될 것이다. 단, 이때 판이 쫙 열리기보다는 숫자가 나올 가능성이 높으며, 판이 쫙 열릴 때까지 여러 번 시도하려고 하는 경우 지뢰를 밟을 확률이 높아진다는 점은 생각해야 한다.

가짜 귀퉁이를 지뢰로 판단하는 실수

}}} ||

||<bgcolor=red> X ||

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닫힌 칸들 중 귀퉁이에 있는, 숫자

들과 인접해 있는 칸의 경우 대부분 지뢰이다. 그런데 간혹 위 그림의 {{{#!wiki style="width: 24px; height: 24px; background-color: silver; border: medium solid; border-color: white gray gray white; color: olive; display: inline-block; text-align: center;"

S}}}와 같이 귀퉁이에 위치해 있지만 지뢰가 아닌 칸이 생길 수 있는데, 이 칸에 실수로 지뢰 체크를 한 다음 나머지 칸(X)을 열어서 지뢰를 밟는 경우가 꽤 있다. 초급과 같이 쉬운 난이도에서도 많이 발생하므로 초보자들은 특히 주의해야 한다.

[1] 도전 과제 시스템이 생긴 Windows 8 이후의 지뢰 찾기에서 저 상황이 일어나면 '말도 안 돼!'라는 도전 과제가 달성된다. [2] 예를 들어 위 그림의 오른쪽 위 끝의 경우, 숫자 5의 오른쪽과 아래의 지뢰를 제외하면 3이고, 그 왼쪽 아래의 2는 1이 된다. 따라서 지뢰 벽의 귀퉁이 형태와 같다. [3] 상하좌우만 고려했을 때이고, 게임의 규칙을 고려하여 8방향을 모두 생각하면 대각선 방향으로 붙어 있는 형태이다. [4] 이때 찍기 구현에 필요한 지뢰는 괄호의 숫자보다 1개 적다. [5] 어차피 저기서 인접한 곳이 아닌 곳을 찍더라도 확률이 러시안 룰렛 수준이기는 하지만 추가적인 찍기가 요구되고, 이 과정에서 불확실한 칸이 최대한으로 발생하면 종합 승률은 1/8 정도까지 내려간다. [6] 대략 100% - (지뢰밀도) 인데, 남은 칸의 지뢰밀도가 50%에 육박하는 상황은 자주 발생하지 않는다. [7] 이때 판이 쫙 열릴 확률이 변이나 중앙보다 높아서 이후 진행에 유리하기도 하다.

지뢰 찾기/찍기

1. 개요

2. 지뢰 벽

2.1. 응용형 1

2.2. 응용형 2

2.3. 중복형

3. 정사각형 4칸

4. 직사각형 6칸 (L자 모양 4칸)

5. 직선 3칸

6. 끊어진 4칸

7. n칸 중 k칸이 지뢰인 경우

8. 지뢰로 완전히 둘러싸인 경우

9. 확률이 동등하지 않은 찍기

9.1. 확률계산 기본사례

9.2. 확률계산 응용사례

9.3. 확률계산 일반화

10. 찍기를 피하는 방법

11. 여담

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