1. 예제 1: 균일하지 않은 매질에 파묻힌 구
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[문제] 그림과 같이 반지름 [math(a)]인 고도로 대전된 구의 반 만큼 매질 2에 파묻혀있다. 구로 부터 지표로 흘러가는 전류 [math(I)]가 있을 때, 구와 지표 간의 저항을 구하시오. (단, 두 매질은 옴의 법칙을 만족한다.) |
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우리는 구의 중심으로 부터 반지름 [math(r)]인 반구의 표면을 영역 [math(S)]라 하자. 조건에 의해 매질 2에서
[math(\displaystyle \iiint_{S} \mathbf{J} \cdot d \mathbf{a}=I )]
구면 대칭에 의해 [math(\mathbf{J})]는 방사적이므로 전류 밀도는 아래와 같다.
[math(\displaystyle \mathbf{J}=\frac{I}{2 \pi r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]
따라서 우리는 두 매질이 옴의 법칙을 만족 함에 따라 [math(\mathbf{E}_{i}={\mathbf{J}_{i}}/{\sigma_{i}})]로 구할 수 있고,
[math(\displaystyle \mathbf{E}_{2}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \qquad \qquad \mathbf{E}_{1}=\frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} )]
으로 구할 수 있다. 따라서 우리는 구와 지표 사이의 전위차를 아래와 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} V&=-\int_{r=a}^{r=b} \mathbf{E}_{2}\cdot d \mathbf{r}-\int_{r=b}^{r=\infty} \mathbf{E}_{1}\cdot d \mathbf{r} \\ &=-\int_{r=a}^{r=b} \frac{I}{2 \pi \sigma_{2} r^{2}}\,dr-\int_{r=b}^{r=\infty} \frac{I}{2 \pi \sigma_{1} r^{2}} \,dr \\ &=\frac{I}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{I}{2 \pi \sigma_{1}b} \end{aligned} )]
따라서 구와 지표 간의 저항은 [math(R=V/I)]이므로
[math(\displaystyle R=\frac{1}{2 \pi \sigma_{2}}\left( \frac{1}{a}-\frac{1}{b} \right)+ \frac{1}{2 \pi \sigma_{1}b} )]
이 된다.
2. 예제 2: 정전기학 문제와 유사성
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[문제] 진공 중에 매우 얇고 넓은 두 금속판이 각각 [math(x=0)], [math(x=2d)]에 놓여져있고, 그 사이의 [math(0<x<d)]에 전기 전도도가 [math(\sigma_{1})]이고, [math(d<x<2d)]에 전기 전도도가 [math(\sigma_{2})] 유전 물질을 채웠다. 한 쪽 금속판은 접지돼있고, 다른 쪽은 퍼텐셜 [math(\Phi=V)]로 유지시킬 때, 두 금속판 사이의 전기장 분포와 전류 밀도 분포, 경계에서의 자유 전하 밀도, 계의 저항을 구하시오. (단, 금속판의 넓이는 [math(A)]이다.) |
- [풀이 보기]
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우리는 정전기적 문제와의 유사성으로 이 문제를 풀 수있다. 이 예제를 참고하라. 해당 예제에서 [math(\kappa \epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{1})]와 [math(\epsilon_{0} \rightarrow \sigma_{2})]로 대치함으로써 구할 수 있다. 두 금속판 사이의 전기장은
[math(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \mathbf{E}_{1}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<d)\\ \\ \displaystyle \mathbf{E}_{2}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(d<x<2d)\end{array}\right. )]
로 구해지고, 우리는 옴의 법칙을 만족하는 매질만을 다루므로,
[math(\displaystyle \mathbf{J}=-\frac{V}{d}\left(\frac{\sigma_{1}\sigma_{2}}{\sigma_{1}+\sigma_{2}} \right)\hat{\mathbf{x}}\qquad(0<x<2d))]
임을 알 수 있다. 우리는 매질의 경계면 [math(x=d)]의 법선 벡터가 [math(\hat{\mathbf{x}})]인 것을 참고하면,
[math(\displaystyle \mathbf{J}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \mathbf{J}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}} )]
이 성립함을 이 예제에서 알 수 있다.
주의해야 할 것은 전기 변위장 문서에서 이 문제를 다룰 때는 자유 전하가 없다고 했지만, 우리는 전류가 흐르는 상황을 고려하므로 이 예제에서는 경계면에 자유 전하가 모이게 된다는 점이다. 따라서 경계에서의 자유 전하는
[math(\displaystyle \mathbf{D}_{2} \cdot \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{D}_{1} \cdot \hat{\mathbf{n}}= \sigma_{f} )]
으로 구할 수 있으므로
[math(\displaystyle \epsilon_{2}E_{2}-\epsilon_{1}E_{1}= \sigma_{f} )]
을 이용하면, 경계에서의 자유 전하 밀도가 나온다:
[math(\displaystyle \sigma_{f}=\frac{\epsilon_{1}\sigma_{2}-\epsilon_{2}\sigma_{1}}{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}V )]
우리는 계의 저항 [math(R=V/I)]로 구할 수 있었으므로 저항은
[math(\displaystyle R=\frac{V}{JA}=\frac{V}{\sigma_{1}E_{1}A}=\frac{V}{\sigma_{2}E_{2}A} )]
이때, 위의 정보를 모두 종합하면, 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.
[math(\displaystyle R=\frac{d(\sigma_{1}+\sigma_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}A} )]
그런데, 이 식을 잘 분해하면,
[math(\displaystyle R=\frac{1}{\sigma_{1}}\frac{d}{A}+\frac{1}{\sigma_{2}}\frac{d}{A})]
으로, 결국엔 각각의 저항의 합임을 알 수 있다. 우리가 저항의 연결에서 배웠던 것을 생각하면, 이 문제는 결국 두 저항이 직렬로 연결되어 있으므로 타당한 결과를 얻었음을 알 수 있다.