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하음파
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참고하십시오.1. 개요
음파( 音 波, sound; sonic wave)는 발음체의 진동으로 인하여 발생된 매질 내 입자 집합의 압축력과 복원력의 상호 작용이 만들어내는 압력 변화의 전달로서, 역학적 파동이다. 초당 진동수가 20Hz에서 20,000Hz[20kHz] 사이인 것으로, 인간이 청감각적으로 지각할 수 있는 음파를 가청음파(可聽音波) 또는 소리라고 한다. 이보다 높은 주파수를 가지는 음파를 초음파, 낮은 주파수를 가지는 음파를 초저주파라 한다.2. 음향 파동 방정식
오일러 방정식, 질량에 대한 연속 방정식을 선형 근사하여 연립하고, 상태 방정식을 이용하여 종속되는 음향 변수들을 간단히 정리하면, 다음과 같이 음압과 유체 입자 속도에 대한 각각의 '선형 무손실 동차 음향 파동 방정식(linear lossless homogeneous acoustic wave equation)'이 유도된다. 손실이 없는 음파의 시간과 공간에 따른 선형적인 거동을 기술한다는 조건에 한하여, 간단하게 '음향 파동 방정식(acoustic wave equation)'이라고도 한다.| [math(\displaystyle \nabla^{2} p - \frac{1}{c_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} p}{\partial t^{2}} = 0)] |
| [math(\displaystyle \nabla^{2} \mathbf{u} - \frac{1}{c_{0}^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{u}}{\partial t^{2}} = 0)] |
또한 [math(\displaystyle c_{0} = \sqrt\frac{B}{\rho_{0}} )]은 음파의 위상 속도(Phase Velocity)이다.
2.1. 정의와 유도
음향 파동 방정식은 시간과 공간에 따른 음파의 거동, 즉 시간과 공간에 따른 매질 내 음압[1]의 분포를 기술하는 방정식이다. 음파와 같이 연속성을 띄는 자연 현상을 단일의 수식으로 기술하여야 하기에, 조금 복잡한 미분과 편미분의 개념이 등장하며, 조금 더 나아가 유체 매질 내 입자 집합의 압축과 팽창, 즉 연속적으로 발생하는 입자의 종방향 섭동을 정의하기 위하여 유체역학이나 열역학 이론이 포함되기도 한다.음향 파동 방정식은 엄밀히 따지면, 유체 매질의 질량과 운동량의 변위를 정의하는 유체역학적 미분 방정식과 열역학적 미분 방정식을 연립하여 정리한 연립 미분 방정식이다. 후술할 오일러 방정식과 질량에 대한 연속 방정식도 유체역학적인 운동량 보존 법칙과 질량 보존 법칙을 정의하는 미분 방정식이며, 또 매질 내 입자의 열역학적 상태를 규정하는 상태 방정식도 매질 내 입자의 등엔트로피적인 상태 변화를 규정하는 미분 방정식이기 때문이다.
후술할 아래의 하위 챕터와 같이, 음파의 전파에 따른 검사 체적 내 유체 매질의 질량 변화와 운동량 변화를 각각 미분 방정식으로 유도하고[2], 물리량 선형 근사를 통해 식을 단순하여 연립한다. 연립된 두 미분 방정식을 가감하여 단일의 수식으로 만들고, 상태 방정식을 통하여 종속되는 음향 변수들을 간단하게 정리하면 음향 파동 방정식이 유도된다.
이러한 음향 파동 방정식은 음파의 물리적 거동과 그 성질을 연구하는 학문인 음향학에서 정말 중요한[3] 수식이 되며, 따라서 대학이나 대학원에서 음향학을 공부하게 되면 음향 파동 방정식을 유도하는 데 꽤 오랜 시간을 소요하는 것도 이러한 중요성 때문이다.
아래는 음향 파동 방정식에 관심이 있거나 관련 정보가 필요한 독자들이 최대한 빠르고 쉽게 알 수 있도록 가장 명료하며 간단하게 파동 방정식 유도 과정을 정리하여 나열한 것이다.
2.1.1. 오일러 방정식
아래 그림과 같이, 단면적 [math(\displaystyle S )]를 가지는 임의의 원형 관(duct)의 내부에서, 임의의 유체가 비점성 . 압축성 유동하는 물리 형태를 가정하자. 이 유체의 흐름이 압축성 유동이므로, 검사 체적 내 유체 입자의 밀도는 일정한 상수가 아니며 시간과 공간에 따라 연속적으로 변화하는 것으로 한다. ([math(\displaystyle \therefore \rho≠constant. )])여기서 [math(\displaystyle \rho )]은 유동하는 유체의 밀도(density), [math(\displaystyle \mathbf{u} )]은 유동하는 유체의 유체 입자 속도(fluid particle velocity)이며 [math(\displaystyle S )]은 관의 단면적, [math(\displaystyle P )]는 각각 [math(\displaystyle x, x+Δx )]의 면적으로 인가되는 압력이다. 검사 체적은 위의 사진 기준 [math(\displaystyle x)]부터 [math(\displaystyle x+Δx)]까지인 것으로, 즉 [math(\displaystyle Δx)]인 것으로 한다.
이제 거리 [math(\displaystyle x)]와 [math(\displaystyle x+Δx)]에서 [math(\displaystyle \rho \mathbf{u}^2S)]만큼의 운동량 유동이 발생한다고 하자. 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]로 유입되는 운동량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x})], 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 외부로 유출되는 운동량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx})]라 한다면, 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)] 내의 운동량 차이는 두 방향 유동 운동량의 차이 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx})]가 된다.
또한 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 표면 [math(\displaystyle S )]에 작용하는 힘을 [math(\displaystyle PS )]라 정의한다면, 이 힘은 두 방향 검사 체적의 끝에서 각각 [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x})], [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x+Δx})]로 작용한다. 결과적으로 두 방향으로 작용하는 알짜힘(인가되는 힘의 차이) 또한 [math(\displaystyle \left. PS \right|_{x}-\left. PS \right|_{x+Δx})]로 기술된다.
따라서 단위 시간당 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)] 내의 운동량 변화는, 검사 체적의 각 끝에서 발생하는 운동량의 차이와 검사 체적에 작용하는 알짜힘을 합한 것이다. 이를 아래와 같이 시간에 대한 운동량의 미분꼴로 정의하자.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}SΔx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2S \right|_{x+Δx}+\left. PS \right|_{x}-\left. PS \right|_{x+Δx})]
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여기서 관의 단면적 [math(\displaystyle S )]는 상수이므로, 변화량이 없기에 미분하면 0이 된다. 따라서 양 변의 각 항에 모두 포함되어 있는 [math(\displaystyle S )]는 약분하여 아래와 같이 정리할 수 있다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u} Δx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx})]
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또한 좌변의 편도함수에 포함되어 있는 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]도 상수이므로, 삭제할 수 있다. 양 변에 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 역수 [math( \dfrac {1}{Δx})]를 곱하여 좌변 도함수의 [math(\displaystyle Δx)]를 소거하자. 그러면 위 식은 아래와 같이 평균 변화율의 꼴이 된다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx})]
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이제 위 식에서, 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]가 아주 작은 거리임을 가정하자[4]. 그러하면 위 식의 우변은 극한 [math(\displaystyle \lim_{Δx\to 0}{f(x)})]이 취해진 꼴로 다시 기술될 수 있다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}+\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx}})]
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극한의 분배 성질을 이용하여, 우변의 극한을 각각 유동 운동량의 치이와 작용하는 알짜힘을 종속항으로 가지도록 분배하여 정리하자. 그러면 아래의 식을 얻는다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}^2 \right|_{x+Δx}}{Δx}}+\lim_{Δx\to 0}{\dfrac{\left. P \right|_{x}-\left. P \right|_{x+Δx}}{Δx}})]
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이때 위 식 우변 극한항의 두 종속항은 도함수 정의의 역꼴이므로, 이를 음의 도함수로 고쳐 다시 쓸 수 있다.[5]
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}=-\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}-\dfrac{\partial (P)}{\partial x})]
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위 식에서, 우변 [math(\displaystyle -\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}-\dfrac{\partial (P)}{\partial x})]을 이항하여 부호를 다시 정의하면
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial t}+\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u}^2)}{\partial x}+\dfrac{\partial (P)}{\partial x}=0)]
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임을 얻고, 각 도함수를 전개하면
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[math(\displaystyle \rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial x}+\rho \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial P}{\partial x}=0)]
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임을 얻는다. 아래 후술할 질량에 대한 연속 방정식에 따라, 위 식의 항 [math(\displaystyle \mathbf{u} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf{u} \dfrac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial x})]은 0이므로, 삭제하여 방정식에서 제외시킨다. 그러면 최종적으로 아래와 같은 비선형 오일러 방정식(nonlinear Euler's equation)이 유도된다.
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[math(\displaystyle \rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial P}{\partial x}=0)]
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2.1.2. 질량에 대한 연속 방정식
아래 그림과 같이 단면적 [math(\displaystyle S )]를 가지는 임의의 원형 관(duct)의 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]에서, 임의의 유체가 비점성 . 압축성 유동하는 물리 형태를 가정하자. 검사 체적은 아래 사진 기준 두 방향 체적 경계 [math(\displaystyle x)], [math(\displaystyle x+Δx)]의 사이 체적 [math(\displaystyle Δx)]인 것으로 한다. 이 상황 유체의 흐름이 압축성 유동이므로, 검사 체적 내 유체 입자의 밀도는 일정한 상수가 아니며 시간과 공간에 따라 연속적으로 변화한다. ([math(\displaystyle \therefore \rho≠constant. )])이제 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 양 끝 체적 경계로 질량 유동 [math(\displaystyle \rho \mathbf{u}S)]이 발생한다고 하자. 체적 경계 [math(\displaystyle x)]의 방향으로 유입되는 질량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x})], 체적 경계 [math(\displaystyle x+Δx)]의 방향으로 유출되는 질량을 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x})]라 정의한다면, 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]에 잔여하는 알짜 질량은 두 방향 유동 질량의 차이 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x})]가 된다.
여기서 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]에 잔여하는 알짜 질량 [math(\displaystyle \left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x})]은 단위 시간당 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)] 내의 질량 변화량과 같으므로, 이를 정리하여 시간에 대한 질량의 미분꼴로 검사 체적 내의 잔여 알짜 질량을 정의하자.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho SΔx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u}S \right|_{x+Δx})]
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여기서 관의 단면적 [math(\displaystyle S )]는 상수이므로, 양 변의 각 항에 모두 포함되어 있는 [math(\displaystyle S )]는 약분하여 아래와 같이 정리할 수 있다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial (\rho Δx)}{\partial t}=\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x+Δx})]
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또한 좌변의 편도함수에 포함되어 있는 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]도 상수이므로, 허용되는 범위 내에서 간단히 조작할 수 있다. 도함수의 종속 함수는 최대한 간단한 것이 좋으므로, 양 변에 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]의 역수 [math( \dfrac {1}{Δx})]를 곱하여 좌변 도함수의 [math(\displaystyle Δx)]를 소거하자.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial \rho }{\partial t}=\dfrac{\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x+Δx}}{Δx})]
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이제 위 식에서, 유체 입자의 가장 순간적인 변위를 고려하기 위해 검사 체적 [math(\displaystyle Δx)]가 아주 작은 거리임을 가정하자. 그러하면 위 식의 우변은 극한 [math(\displaystyle \lim_{Δx\to 0}{f(x)})]이 취해진 꼴로 다시 기술될 수 있다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial \rho }{\partial t}=\lim_{Δx\to 0}\dfrac{\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x}-\left. \rho \mathbf{u} \right|_{x+Δx}}{Δx})]
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이때 위 식 우변 극한항의 종속항은 도함수 정의의 역꼴이므로, 이를 아래와 같이 음의 도함수로 고쳐 다시 쓸 수 있다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial \rho }{\partial t}=-\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial x})]
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위 식에서, 우변 [math(-\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial x})]을 이항하여 부호를 다시 정의하면
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial \rho }{\partial t}+\dfrac{\partial (\rho \displaystyle \mathbf{u})}{\partial x}=0)]
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임을 얻고, 각 도함수를 전개하면 최종적으로 아래와 같은 비선형 연속 방정식(nonlinear continuity equation)을 얻는다.
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[math(\displaystyle \dfrac{\partial \rho }{\partial t}+\mathbf{u}\dfrac{\partial \rho}{\partial x}+\rho\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}=0)]
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2.1.3. 상태 방정식
일반적인 유체 매질의 열역학적 상태 변화는, 매질의 압력 [math(\displaystyle P )] (Pa)와 밀도 [math(\displaystyle \rho )] (kg/m^3), 절대 온도 [math(\displaystyle T_K)] (K)의 세 물리량을 독립 변수로서 가진다.이상 기체 상태 방정식(state equation of ideal gas)은 열역학적 평형 상태에 놓여있는 유체 매질의 열역학적 상태 변화 과정에 대하여, 이를 구성하는 위 세 가지 물리량의 미시적인 거동의 관계를 규정하는 방정식이다.
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[math(P=\rho rT_K)]
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여기서 [math(r)]은 비기체 상수(specific gas constant)로, 일반 기체 상수(universal gas constant) [math(R)] 과 기체 분자량(moleculer weight) [math(M)]의 함수이다.
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[math(r=r(R, M)=\dfrac {R}{M})]
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일반적으로 음향학에서는 유체 매질의 열역학적 상태 변화가 압력과 밀도, 그리고 엔트로피(entropy) [math(S)]에 의하여 결정된다. 여기서, 유체 매질에 인가되는 압력 [math(P)]은 유체 매질의 밀도와 엔트로피의 함수가 된다.
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[math(P=P(\rho , S))]
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다만 선형 음향학(linear acoustics)에서는 매질의 순간적인 상태 변화가 아주 작기 때문에, 즉 엔트로피의 변화가 압력의 변화(음압)보다 아주 작기 때문에 엔트로피는 일정하다고 근사된다. 따라서 인접한 유체 요소로의 열 에너지의 전달이 거의 일어나지 않기 때문에 선형 음향학에서의 압력은 밀도와 엔트로피의 함수가 아닌 밀도만에 대한 함수로 기술된다.
이를 등엔트로피적 상태 방정식(isentropic state equation)이라 한다.
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[math(P=P(\rho))]
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언급한 바와 같이 등엔트로피적 상태 변화 과정에서는 인접한 유체 요소로의 열 에너지의 전달이 거의 일어나지 않기 때문에, 이러한 유체 매질의 상태 변화 과정은 단열 과정(adiabatic)이라 정의되며, 다음과 같이 기술된다.
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[math(\displaystyle \dfrac {P}{P_0}=\Bigg(\dfrac {\rho}{\rho_0}\Bigg)^\gamma)]
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여기서 [math(\gamma)]은 유체 매질의 비열비(specific heat ratio) 또는 열용량비(heat capacity ratio)이다. 위 식 좌변의 평형 압력 [math(P_0)]을 양 변에 곱하여 위 식을 순간 압력 [math(P)]에 대한 식으로 다시 쓰면
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[math(\displaystyle P=P_0\Bigg(\dfrac {\rho}{\rho_0}\Bigg)^\gamma)]
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을 얻고, 지수가 상수인 다항식의 테일러 급수 전개를 이용하면 아래와 같은 이상 기체 비선형 상태 방정식(nonlinear state equation of real gas)을 얻는다.
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[math(\displaystyle P=P_0+\dfrac{\partial P}{\partial \rho}(\rho-\rho_0)+\Bigg(\dfrac{\partial P}{\partial \rho}\Bigg)^2(\rho-\rho_0)^2+\Bigg(\dfrac{\partial P}{\partial \rho}\Bigg)^3(\rho-\rho_0)^3+...)]
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2.1.4. 물리량 선형 근사
이제껏 유도한 세 방정식에서 고려되는 물리량의 크기가 아주 작음을 고려하면, 위에서 구한 복잡한 미분 방정식의 형태를 꽤 간소화할 수 있다. 물리량의 크기가 미소함을 고려하여 방정식을 선형화하기 전에, 이 부분에서는 새로운 물리량을 먼저 정의한다.음향 파동 방정식은 시간과 공간에 따른 음압(acoustic pressure)의 분포를 기술하는 방정식이다. 음압은 매질 내 순간 압력과 평형 압력의 차이로, 매질의 압력 상태가 평형 압력 상태로부터 벗어난 크기이다. 이를 아래와 같이 정의한다.
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[math(\displaystyle p-P-P_0)]
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또한, 음압에 따른 매질 내 밀도의 변화도 음압과 마찬가지로, 매질 내 순간 밀도와 평형 밀도의 차이로 정의된다.
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[math(\displaystyle \delta\rho=\rho-\rho_0)]
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이제 매질 내 음압과 변동 밀도, 그리고 입자 속도의 크기가 아래와 같이 기준 물리량보다 아주 작음을 고려하자. 이를 물리량의 선형 근사(linear approximaion)라 한다.
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[math(\displaystyle | \delta\rho |\ll\rho_0, | p |\ll\rho_0c_{0}^2, |u|\ll c_{0})]
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2.1.4.1. 오일러 방정식 선형화
아래와 같은 단일 차원의 비선형 오일러 방정식을 가정하자.|
[math(\displaystyle \rho \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial P}{\partial x}=0)]
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음압의 정의 [math(\displaystyle p=P-P_0)] 와, 변동 밀도의 정의 [math(\displaystyle \delta\rho=\rho-\rho_0)]를 이용하여, 위 식의 순간 압력 [math(\displaystyle P)] 와 순간 밀도 [math(\displaystyle \rho)] 를 각각 [math(\displaystyle P=p+P_0)], [math(\displaystyle \rho=\delta\rho+\rho_0)]로 치환한다.
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[math(\displaystyle (\delta\rho+\rho_0) \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\delta\rho+\rho_0) \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial (p+P_0)}{\partial x}=0)]
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위 식에서, 평형 압력 [math(\displaystyle p_0)]은 상수이므로 미분하면 0이 된다. 따라서 위 식 세 번째 항의 편도함수에 종속되어 있는 평형 압력 [math(\displaystyle P_0)]은 위 식에서 삭제한다.
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[math(\displaystyle (\delta\rho+\rho_0) \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\delta\rho+\rho_0) \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial p}{\partial x}=0)]
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위 식에서, 계수가 취해진 도함수를 전개하면 다음과 같은 관계식을 얻는다.
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[math(\displaystyle \delta\rho\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho_0\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\delta\rho\mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\rho_0\mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial p}{\partial x}=0)]
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이제 위에서 정의하였던 물리량의 선형 근사를 이용하여, 위 식을 선형화하자. 위에서 정의한 바와 같이, 매질 내 변동 밀도 [math(\displaystyle \delta\rho)]와 입자 속도 [math(\displaystyle \mathbf{u})]는 아주 작은 값으로 고려된다. 아주 작은 수들의 곱은 0으로 수렴하므로, 위 식에서 변동 밀도와 입자 속도의 곱으로 표현되는 첫 번째 항 [math(\displaystyle \delta\rho\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t})]과 세네 번째 항 [math(\displaystyle \delta\rho\mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\rho_0\mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x})]은 위 방정식에서 삭제할 수 있다.
그러면 아래와 같이 압축성 유동하는 비점성 유체에 대한 선형 오일러 방정식(linear Euler's equation)이 유도된다.
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[math(\displaystyle \mathbf{u} \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial x}+\dfrac{\partial p}{\partial x}=0)]
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2.1.5. 미분 방정식 연립 및 변수 정리
3. 관련 문서
[1]
입자 속도 등
[2]
연속 방정식(질량 미분 방정식), 오일러 방정식(운동량 미분 방정식)
[3]
사실상 가장 중요한
[4]
유체 입자의 가장 순간적인 변위를 고려하기 위해서.
[5]
원래 도함수의 정의에서는 증분이 포함되어 있는 함수항 [math(\displaystyle f(x+Δx))]이 선행하여야 하지만, 위의 상황에서는 증분이 포함되지 않은 원함수항 [math(\displaystyle f(x))]이 선행하였다.