1. 개요
amount with interest added · 元 利 合 計원금과 이자의 합계.
곧 처음 금융 거래를 시작한 이래로 이자가 붙으며, 점점 불어나는 돈의 총합을 말한다.
등차수열과 등비수열 그리고 기하급수가 활용되기 때문에 이에 대한 내용을 숙지 못한 독자들은 선수 지식을 채우고 올 것.
이 문서에서는 원리합계 뿐만 아니라 자주 함께 다뤄지는 연금의 현재가치 및 상환에 관하여도 수록하였다.
2. 선수 지식
2.1. 등비수열
2.2. 기하급수
3. 원리합계
이 문서에서는 1년 단위로 이자가 붙는 상황을 가정하였다. 그러나 금융 세계는 복잡하여 한 달, 심지어 하루 마다 이자가 붙는 상황또한 고려할 수 있으나, 다루지 않았다.[1]모든 적립 급액은 연말에 받는다고 가정했다.
3.1. 기수불과 기말불
- 기수불은 연초에 적립한 경우를 의미한다.
- 기말불은 연말에 적립한 경우를 의미한다.
3.2. 단리법
이는 등차수열의 공비처럼 원금에 대해서만 이자를 붙이는 방식을 의미한다.
원금 [math(A)]원을 단리로 연이율 [math(r)][A]에 대하여 [math(n)]년 후 년말에 지급되는 원리합계 [math(S)]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} S&=A+\underbrace{Ar+Ar+Ar+ \cdots + Ar}_{\small{n \textsf{ terms} }}\\&=A(1+nr) \end{aligned} )]
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이다.
은행에 기수불로 1년 마다 [math(A)]원씩 적립하는 상황을 고려해보자.
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따라서 [math(n)]년 후 연말에 지급받는 총액은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} A(1+kr)=\frac{1}{2}An\{(n+1)r+2\} \end{aligned} )]
이다.
기말불인 경우
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따라서 [math(n)]년 후 연말에 지급받는 총액은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n-1} A(1+kr)=\frac{1}{2}An\{(n-1)r+2 \} \end{aligned} )]
이다.
3.3. 복리법
복리는 원금에 대해서뿐만 아니라 원금에서 생기는 이자에도 원금과 동일한 이율의 이자를 붙인다.
원금 [math(A)]원을 복리로 연이율 [math(r)][A]에 대하여 [math(n)]년 후 년말에 지급되는 원리합계 [math(S)]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} S&=A(1+r)^{n} \end{aligned} )]
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이다.
은행에 기수불로 1년 마다 [math(A)]원씩 적립하는 상황을 고려해보자.
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따라서 [math(n)]년 후 연말에 지급받는 총액은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} A(1+r)(1+r)^{k-1}=\frac{A(1+r)\{(1+r)^{n}-1 \}}{r} \end{aligned} )]
이다. 이것은 첫째 항이 [math(A(1+r))]이고, 공비가 [math((1+r))]인 등비수열의 합과 같다.
기말불인 경우
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따라서 [math(n)]년 후 연말에 지급받는 총액은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} A(1+r)^{k-1}=\frac{A\{(1+r)^{n}-1 \}}{r} \end{aligned} )]
이다. 이것은 첫째 항이 [math(A)]이고, 공비가 [math((1+r))]인 등비수열의 합과 같다.
3.4. 비교
단리법과 복리법 중에 무엇이 유리한가를 살펴보자.동일한 이율과 동일한 원금을 설정했을 때, 단리법을 적용했을 때와 복리법을 적용했을 때 원리합계는 아래의 그래프와 같이 나타나게 된다.
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위 그림과 같이 복리법이 돈을 불리는데 유리함을 알 수 있다. 이는 당연한 결과로 단리법과 달리 복리법은 불어난 이자에 대해서도 다시 이자를 쳐주기 때문이다.
4. 부가 문제
4.1. 연금의 현재가치
1년마다 연말에 받는 [math(P)]원 만큼의 연금[4]이 있다고 하자. 이때, 돈의 가치는 항상 변하기 때문에 연이율을 [math(r)]이라 하자.
그렇다면 연마다 받는 [math(P)]원의 현재가치는 얼마인가에 대한 물음에 답을 해보자.
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이때 위 그림처럼 [math(P)]원의 현재가치를 역으로 계산하여 더한 값이 연금의 현재가치가 된다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} \frac{P}{1+r} \biggl(\frac{1}{1+r} \biggr)^{n-1}=\frac{P}{r}\biggl\{1-\frac{1}{(1+r)^n} \biggr\} \end{aligned} )]
만약 [math(n \gg 1)]이라고 하면, 즉 영구연금을 다루는 경우에는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{P}{r}\biggl\{1-\frac{1}{(1+r)^n} \biggr\} \end{aligned} )]
이고, [math(1+r>1)]이므로 그 현재가치는 [math(P/r)]로 수렴한다. 이 금액은 곧 받기로 한 연금의 총 합의 현재가치를 나타내므로 연금을 연초에 한꺼번에 받을 때 받을 수 있는 돈을 의미하기도 한다.
이를 다른 방법으로 증명해보자. 이제는 연초에 매년의 연말마다 받기로 한 연금을 한꺼번에 받는다고 하자. 이 경우 한꺼번에 받게 되는 금액 [math(A)]원이라고 하자. 이때, [math(n)]년 후 연말의 돈의 가치는
[math(\displaystyle \begin{aligned} A(1+r)^{n} \end{aligned} )]
이다. 그런데 이 금액은 [math(P)]원을 매년 받았을 때 그 돈 총합의 미래 가치와 같아야 하므로 기말불로 계산하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P\{ (1+r)^n-1\}}{r} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P}{r}\biggl\{1-\frac{1}{(1+r)^n} \biggr\} \end{aligned} )]
로 같음을 알 수 있다.
따로 증명하지는 않겠으나, 연초에 연금을 받는 경우라면, 그 현재가치는
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{P(1+r)}{r}\biggl\{1-\frac{1}{(1+r)^n} \biggr\} \end{aligned} )]
이다. 이 경우 또한 영구연금을 고려하면 연금의 현재가치는
[math(\displaystyle \begin{aligned} P\biggl(1+\frac{1}{r} \biggr) \end{aligned} )]
이다.
따라서 연금의 현재가치를 계산하는 방법은 2가지 있다.
- 매년 받는 [math(P)]원에 대한 현재가치를 역추정하여 그 값을 모두 더 하는 방법
- 연금의 현재가치에 대한 미래 가치와 매년 받는 각각의 [math(P)]원에 대한 미래 가치의 합이 같다고 하여 구하는 방법
4.2. 상환
일반적으로 원금 [math(A)]원을 [math(n)]개월에 걸쳐 월 이율 [math(r)]로 상환할 경우 한 달에 갚아야 할 금액을 [math(a)]원이라 하자. 이때, [math(A)]원은 구입 당시와 비교하여 그 가치가 달라지므로 [math(n)]개월 후에는[math(\displaystyle \begin{aligned} A(1+r)^{n} \end{aligned} )]
이고, 매월 갚아야 할 금액 [math(a)]원의 경우에는 그 가치가
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r} \end{aligned} )]
로 축적된다.
이 두 개의 값이 같아야하므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{a\{(1+r)^{n}-1\}}{r}=A(1+r)^{n} \end{aligned} )]
이상에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} a=Ar \left[1-\left(\frac{1}{1+r} \right)^{n} \right]^{-1} \end{aligned} )]
임을 얻는다.
4.2.1. 신용카드 할부
이 부분은 현재 고등학생들이 성인이 되고, 신용카드를 사용하게 되면 그것을 몸소 느낄 수 있다.
신용카드에는 할부라는 개념이 있다. 즉, 5만원 이상의 금액에 대해서는 이 값을 나눠서 결제일에 상환하면 되는 것. 아직 고등학생이라면 예를 들어 100만원의 상품에 대해서 10개월 할부를 한다면, 매달 10만원씩만 카드사에 상환하면 될 것이라고 착각하기 쉽다. 그러나 세상은 만만하지 않다.
이것의 이유는 카드사 입장에서는 먼저 100만원을 대신 내준 상태라는 점에서 기인한다. 카드사 입장에서는 100만원의 손해가 발생한 것이고, 고객은 이것을 바로 갚지 아니하고 나중에 갚는다. 그런데 원리합계에 대한 계산을 할 때 돈의 가치는 항상 변한다고 언급한 적이 있다. 즉, 돈의 가치는 항상 변한다. 따라서 할부 원금만 받으면 그 가치만큼의 손해가 발생한 채로 원금을 돌려받는 것이다. 그런데 이는 고객이 나중에 갚겠다고 하여 생긴 문제로, 카드사 입장에서는 손해를 막고자 이것을 할부 수수료(할부 이자)란 명목으로 추가적으로 고객에게 납부를 요청하게 된다.
그런데 '얼마나 그 금액을 받을 것인가'는 카드사 마음대로이다. 다만, 법정 이자 20%는 지켜야 한다. 그럼 이 금액을 받는 비율은 무엇으로 정하는가? 그것은 바로 고객의 신용이다. 신용이 높은 사람은 연체가 비교적 적을것이라고 생각하여 그 금액을 적게 받아도 충분하다. 그러나 신용이 낮은 사람은 연체할 확률이 커지므로 그 위험부담을 감소시키기 위해 더 큰 금액을 요구한다.
또한 할부 개월수가 클 수록 더 큰 수수료율을 물리는데, 이는 할부 개월수가 커질 수록 연체의 위험성이 커지는 것과 동시에 오랜 기간 돈을 받지 못하는 것과 마찬가지이므로 그 손해를 매우기 위해 더 큰 수수료를 물린다.
그렇기 때문에 사람들이 신용점수, 신용점수하는 것이 신용이 높을 수록 금융 회사에게 받을 수 있는 서비스의 질이 달라지기 때문이다.
또다시 세상은 만만하지 않아, 무이자 3개월 등 그런 요소들도 있지만 그것은 다루지 않기로 하고, 유이자 할부를 예를 들어보자.
물건 값이 [math(A)]원인데 고객은 카드사에 요청하여 이 금액을 [math(n)]개월 할부로 상환하고자 한다. 이때 카드사는 고객의 할부 연수수료율을 [math(r)]로 책정하였을 때, 고객이 매달 상환해야 하는 금액을 구해보자. 이때, 연 할부수수료율이므로 한 달에 대한 수수료율은 [math(r/12)]임에 유의한다.
카드 할부값의 결제는
- [math(A/n)] 즉, 원금을 [math(n)]등분한 값을 달마다 결제한다.
- 또한 총 원금에서 저번달까지 납부한 물건의 금액을 뺸 값에 대하여 수수료를 붙인다.
위 설명을 참고하면, [math(k)]번째를 납부 할 때의 금액을 [math(a_{k})]라 하자. 이때,
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{k}&=\frac{A}{n}+A\biggl[1-\frac{(k-1)}{n} \biggl]\frac{r}{12} \end{aligned} )]
이 성립한다.
그렇다면 총 납부해야 하는 금액은 얼마인가?
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_{k}=A\biggl\{ 1+\frac{1}{24}r(n+1) \biggr\} \end{aligned} )]
따라서 내야할 할부 이자의 총액은 위 값에서 할부 원금 [math(A)]를 빼면 되므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{24}Ar(n+1) \end{aligned} )]
이다.
총 납부 금액을 약간 변형하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{1}{2}\frac{A}{n} \cdot n \biggl\{ (n+1)\cdot \frac{1}{12}r +2 \biggr\} \end{aligned} )]
으로 신용카드 할부는 단리법을 사용함을 알 수 있다.
이 할부 이자의 존재때문에 할부를 만만하게 생각해서는 안된다는 것을 알 수 있다. 갚을 나눠서 계산하므로 나는 알뜰하게 소비했다라고 착각할 수 있지만 실제로는 원래 금액보다 더 큰 금액을 최종적으로는 카드사에게 지불해야한다.
더군다나 할부 개월수 [math(n)]이 커질수록 납부해야할 할부이자 또한 증가한다. 따라서 할부 개월수를 크게한다고 좋은 것이 아니란 것이 방증된 것이다.
참고적으로 과다한 할부 사용은 신용점수의 하락 원인이다!
4.2.2. 일부결제금액이월약정
신용카드에는 일부결제금액이월약정(리볼빙) 서비스라는 것이 있다.
이번달 내야할 일시불에 대한 카드 값[6]이 200만원이라 가정해보자. 그런데 카드 주인이 실직을 당해 이번 달에 낼 수 있는 카드값이 40만원이라고 가정해보자.
카드값을 어떻게 처리할까 고심을 하던 도중 카드 주인은 리볼빙 서비스라는 것을 알게된다. 다행히도 카드사는 최소결제금액 비율[7]이 [math(20\,\%)]로 책정하여 40만원만 내고, 남은 금액은 160만원은 다음달로 결제일을 미뤄준다고 한다. 단, 그 명목으로 수수료를 받는다고 한다.
다음달도 마찬가지로 여유가 되지 않아 [math(20\,\%)]만 납부하기로 하고 남은 금액은 다음 달로 미루기로 하였다. 그러나 카드 주인은 한 달에 200만원은 필수적으로 들어가야 하기 때문에 계속해서 해당 금액만큼 달달이 썼다고 하자.
절망적이게도 카드 주인은 취업이 잘 되지 않아 이러한 짓을 여러 번 하고야 말았다.
일단 리볼빙 서비스는 복리로 계산하기 때문에 그 무서움이 드러난다. 그 이유는 우리가 원리합계에서 다룰 때 단리법에 비해 복리법을 사용하면 돈이 기하급수적으로 불어난다는 것을 그래프를 통해 확인했다. 그러나 절망적인건 적금의 경우 받아야 할 돈이 늘어나지만 리볼빙 서비스의 경우 갚아야 할 돈이 기하급수적으로 늘어나기 때문.
어느 고객의 일시불에 대한 카드값이 [math(A)]원이었다고 가정해보자. 이 고객은 최소결제금액 비율은 [math(R)]이고, 연 수수료율은 [math(r)]이다. 그리고 매달 [math(A)]원씩 카드를 쓴다고 가정해보자. [math(k)]번째 리볼빙 서비스를 이용할 때 남아있는 원금 [math(a_k)]는
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_k=(A+a_{k-1})(1-R) \end{aligned} )]
이 되고, 이 꼴의 점화식 형태는 일반항을 다음과 같이 구할 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_k=\frac{A(1-R)\{(1-R)^{k}-1\}}{R} \end{aligned} )]
따라서 리볼빙 서비스는 복리법을 따름이 여기서 드러난 것이다. 할부 수수료는 저번 달 이월된 금액 [math(a_{k-1})]에 붙는다. 즉,
[math(\displaystyle \begin{aligned} a_{k-1} \cdot \frac{r}{12} \end{aligned} )]
이므로 [math(k)]번째 달에 납부해야 할 금액은 수수료와 [math(A)]와 지난달 이월된 금액 [math(a_{k-1})]의 [math(R)]의 합이다. 이를 [math(S_{n})]이라 하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} S_{k}&=a_{k-1} \cdot \frac{r}{12} +(A+a_{k-1})R \\&=A \left[ 1-(1-R)^{k}-\frac{r(1-R)\{(1-R)^{k-1}-1) \}}{12R} \right] \end{aligned} )]
이 된다.
아래 표는 [math(A=2{,}000{,}000)], [math(R=0.2)], [math(r=0.18)]일 때, 시뮬레이션한 결과다.
| 월 | 사용 금액 (원) | 이월받은 금액 (원) | 수수료 (원) | 납부 금액 (원) | 이월된 금액 (원) | 총 부채 (원) | |
| 1월 | 2,000,000 | 0 | 0 | 400,000 | 1,600,000 | 1,600,000 | |
| 2월 | 2,000,000 | 1,600,000 | 24,000 | 744,000 | 2,880,000 | 3,600,000 | |
| 3월 | 2,000,000 | 2,880,000 | 43,200 | 976,000 | 3,904,000 | 4,880,000 | |
| 4월 | 2,000,000 | 3,904,000 | 58,560 | 1,239,360 | 4,723,200 | 5,904,000 | |
| 5월 | 2,000,000 | 4,723,000 | 70,848 | 1,415,488 | 5,378,560 | 6,723,200 | |
| 6월 | 2,000,000 | 5,378,560 | 80,678 | 1,556,390 | 5,902,848 | 7,378,560 | |
| 7월 | 2,000,000 | 5,902,848 | 88,542 | 1,669,111 | 6,322,279 | 7,902,848 | |
| 8월 | 2,000,000 | 6,322,279 | 94,834 | 1,759,289 | 6,657,824 | 8,322,279 | |
| 9월 | 2,000,000 | 6,657,824 | 99,867 | 1,831,431 | 6,926,260 | 8,657,824 | |
| 10월 | 2,000,000 | 6,926,260 | 103,893 | 1,889,145 | 7,141,008 | 8,926,260 | |
| 11월 | 2,000,000 | 7,141,008 | 107,115 | 1,953,316 | 7,312,807 | 9,141,008 | |
| 12월 | 2,000,000 | 7,312,807 | 109,692 | 1,972,253 | 7,450,246 | 9,312,807 | |
| (1원 미만의 금액은 버림.) | |||||||
리볼빙 서비스는 유용하긴 하나, 위 사례 처럼 대책없이 쓸 경우 막장 상황이 돼버린다.
5. 기타
- 고등학교 수학 교육과정에서도 심화 문제의 소재가 되기도 한다.