[math(\LARGE{N_n(t)=\prod_{j=1}^{n-1} \lambda_j \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} (\frac{N_1(0)e^{-\lambda_j t}}{\prod_{p=i,p\neq j}^{n}(\lambda_p - \lambda_j)})})]
방사성 붕괴 계열에 속하는 방사성 동위원소와 같이 핵종이 여러 중간단계의 핵종을 거쳐 안정된 원소에 도달한다고 할 때, 특정 시간 이후의 [math(n)]번째 딸핵의 입자수[math(N_n(t))]를 계산하기 위한 식이다. [math(N)]은 입자의 수를 나타내며, [math(N_1 (0))]은 최초 모핵의 양이다. 계산을 위해서는 첫번째 모핵부터 계산하고자 하는 세대의 딸핵이 가지고 있는 붕괴상수([math(\lambda_1, \lambda_2, \ldots ,\lambda_n)])를 알아야 한다.[math(n)]번째 딸핵의 방사능[math(A_n)]은 베이트만 방정식을 통해 구한 핵종 수에 [math(n)]번째 딸핵의 붕괴상수 [math(\lambda_n)]을 곱하여 얻을 수 있다.
[math(\large{A_n (t) = \lambda_n \cdot N_n (t)})]
1. 베이트먼 방정식의 전개
베이트먼 방정식은 각각 2개의 [math(\sum)]과 [math(\prod)]로 인해 겉보기와는 달리 계산할 것이 많아서 중간중간 헷갈리기 십상이다.[math(\Large{N_n(t) = C_1 e^{- \lambda_1 t} + C_2 e^{- \lambda_2 t} + C_3 e^{- \lambda_3 t} + \ldots +C_n e^{- \lambda_n t}})]
[math(~~\large{C_1 = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) \ldots (\lambda_n - \lambda_1)} N_1(0)} )]
[math(~~\large{C_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_2)(\lambda_3 - \lambda_2) \ldots (\lambda_n - \lambda_2)} N_1(0)} )]
[math(~~\large{C_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_3)(\lambda_2 - \lambda_3) \ldots (\lambda_n - \lambda_3)} N_1(0)} )]
[math( ~\vdots ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \vdots)]
[math(~~\large{C_n = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_n)(\lambda_2 - \lambda_n) \ldots (\lambda_{n-1} - \lambda_n)} N_1(0)} )]
[math(~~\large{C_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_2)(\lambda_3 - \lambda_2) \ldots (\lambda_n - \lambda_2)} N_1(0)} )]
[math(~~\large{C_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_3)(\lambda_2 - \lambda_3) \ldots (\lambda_n - \lambda_3)} N_1(0)} )]
[math(
[math(~~\large{C_n = \frac{\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \ldots \lambda_{n-1}}{(\lambda_1 - \lambda_n)(\lambda_2 - \lambda_n) \ldots (\lambda_{n-1} - \lambda_n)} N_1(0)} )]
[math(C_n)]의 분모에서 [math((\lambda_i - \lambda_k))]라고 하면, [math( i = k )]인 항은 제외한다는 점에 주의하여 계산을 하도록 하자. 이렇게 전개한 식은 헷갈릴 염려도 덜할 뿐만 아니라 각각의 [math(\sum)]과 [math(\prod)]이 어떤역할을 하는지 명확하게 보여준다.
2. 이용
여러 단계를 거치는 경우에 이용되는 방정식으로 악티나이드[1]원소와 그 딸핵들 각각의 원자수, 방사능을 계산할 수 있다.주로 원자력 발전소에서 나오는 사용후핵연료 등의 방사성폐기물들의 해석에 이용한다.
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| 계산한 우라늄 계열의 동위원소들에서 발생하는 방사능의 변화 | 악티늄 계열의 동위원소들에서 발생하는 방사능의 변화 |
위의 그래프는 베이트먼 방정식을 이용해서 계산한 시간당 방사능이다. 실제 사용후 핵연료의 데이터를 기반으로 만들어졌으며, 우라늄 계열(4n+2[2])과 악티늄 계열(4n+3)의 방사능 변화를 베이트먼 방정식을 통한 계산결과가 어떤 모습인지 알 수 있다. 단, 이 그래프는 가로축과 세로축이 모두 로그스케일이라는 점에 주의하자.