1. 개요
Bernoulli differential equation / - 微 分 方 程 式 / (프랑스어)Équation différentielle de Bernoulli베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.[1]
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[math(\displaystyle
y'(t) + p(t)y(t) = q(t) y(t)^n \qquad (n \neq 0,1) )] |
2. 해법
자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]으로 나누고 [math(\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.|
[math(\displaystyle
u'(t) + (1-n)p(t)u(t) = (1-n)q(t) )] |
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[math(\displaystyle
y(t) = [ u^*(t) ]^{\frac1{1-n}} )] |
풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면, 적분인자는 [math(e^{\int \!P(t){\rm d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
u^*(t) &= \frac{\displaystyle \int e^{\int \!P(t){\rm d}t} Q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{\int \!P(t){\rm d}t}} \\ &= \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}} \end{aligned} )] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
y(t) = \left[ \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}}\right]^{\frac1{1-n}} \end{aligned} )] |