1. 개요
Weierstrass Substitution바이어슈트라스 치환적분법은 적분이 복잡한 삼각함수식을 대수적 변수로 치환해 적분하는 방식이다.
독일 수학자 카를 바이어슈트라스가 고안했다.
2. 정의
다음과 같은 임의의 함수의 적분이 다소 복잡하다고 정의하자,
[math(\displaystyle \int f(sin\,x , cos\,x) dx)]
[math(t=tan(\frac{x}{2}))]을 적용하면, 임의의 함수는 다음과 같은 대수적 형식으로 치환된다.
[math(\displaystyle \int f((\dfrac{2t}{1+t^2}), (\dfrac{1-t^2}{1+t^2})) \dfrac{2}{1+t^2}dt)]
[math(\displaystyle \int f(sin\,x , cos\,x) dx)]
[math(t=tan(\frac{x}{2}))]을 적용하면, 임의의 함수는 다음과 같은 대수적 형식으로 치환된다.
[math(\displaystyle \int f((\dfrac{2t}{1+t^2}), (\dfrac{1-t^2}{1+t^2})) \dfrac{2}{1+t^2}dt)]
2.1. 증명
위의 정의 문단 함수를 상기하면,[math(\displaystyle sin\,x=2sin(\dfrac{x}{2})cos(\dfrac{x}{2})=2\dfrac{sin(\dfrac{x}{2})cos^2(\dfrac{x}{2})}{cos(\dfrac{x}{2})})]
[math(\displaystyle =2\dfrac{tan(\dfrac{x}{2})}{sec^2(\dfrac{x}{2})})]
단, [math(\displaystyle sec^2(\dfrac{x}{2})-tan^2(\dfrac{x}{2})=1)]이므로,
[math(\displaystyle sin\,x=\dfrac{2t}{1+t^2})].
[math(\displaystyle cos\,x=cos^2(\dfrac{x}{2})-sin^2(\dfrac{x}{2}))]
[math(\displaystyle csc^2(\dfrac{x}{2})-cot^2(\dfrac{x}{2})=1)]이므로,
[math(\displaystyle cos\,x=\dfrac{1}{1+t^2}-\dfrac{t^2}{1+t^2}=\dfrac{1-t^2}{1+t^2})]
삼각함수 치환적분을 사용하면 [math(dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt)].
그러므로, [math(\displaystyle \int f((\dfrac{2t}{1+t^2}), (\dfrac{1-t^2}{1+t^2})) \dfrac{2}{1+t^2}dt)]가 정의된다.