1. 개요
에탈 코호몰로지란 코호몰로지의 일종으로 역사적으로 베유 추측을 증명하기 위해서 정의되었다. 에탈 코호몰로지는 코호몰로지를 우리가 잘 아는 실수에 대한 것이 아닌 임의의 체 위에서 정의한 것이다.2. 소개
보통 대수기하를 할 때는 층 코호몰로지를 쓴다. 하지만 이것은 조금의 문제점이 있는데, 자리스키 위상이 원래 너무 열린 집합이 적다는 것이다. 이것이 왜 문제냐면 준연접층이라면 문제 없는데 그 외의 층. 예를 들면 상수층일 때 우리가 보통 알고 있는 상식하고 너무 동떨어진다는 것이다.정수론에서 무언가를 하려면 갈루아 군을 건드려야 한다. 갈루아 군을 코호몰로지로 건드리려면 상수층. 적어도 구성가능한 층이 필요한데, 층 코호몰로지의 자리스키 위상는 그 자체로는 국소적으로 대수학적인 무언가를 전혀 건드리지 못 하므로 갈루아 군을 전혀 건드리지 못 하고, 이는 국소적인 상수층에 대해서 반드시 코호몰로지가 0이어야 한다는 결과를 내놓는다.
이것을 수정하게 위해서 갈루아 군을 어떻게든 반영하는. 그러니까, 상수층에 대해서도 0이 아닌 코호몰로지를 만들어야 하는데, 에탈 사상이라는 갈루아 확장의 대수기하 버전을 만들고 그렇게 갈루아 코호몰로지의 정의를 그대로 모방해 만든 것이 에탈 코호몰로지다.
3. 정의
[math( X,Y)]가 스킴이라고 하자. 그렇다면 [math(f:Y\to X)]가 평탄 사상이라는 것은 모든 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 평탄 [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-가군이라는 것이다.이것을 어떻게 이해하면 좋을까 평탄이란 대충 말해서 "모든 부분이 부드럽게 같음"을 의미한다. 예를 들면 생각할 부분이 딱 한 점밖에 없는 체에 대해선 모든 체의 확장 [math(L/K)]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Spec}\,L\to \mathrm{Spec}\,K \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Spec}\,k[x,y,t]/(xy-t)\to \mathrm{Spec}\,k[t] \end{aligned})] |
[math(f:Y\to X)]가 충실 평탄이라는 것은 f 가 평탄 사상이고 전사라는 것이다. 모든 평탄 국소 준동형사상은 충실 평탄이므로 이는 [math(y\in Y)]에 대해서 [math(\mathcal{O}_{Y,y})]가 충실 평탄 [math(\mathcal{O}_{X,f(y)})]-가군이라는 것을 의미한다.
이를 생각하면 다음을 정의할 수 있는데, [math(f:_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]라는 스킴 사상족을 생각하자. 그렇다면 이것이 fpqc 덮개이라는 것은
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\bigcup_{\alpha}f_{\alpha}(U_{\alpha})=X \end{aligned})] |
각각의 [math(f_{\alpha})]가 충실 평탄이고 준컴팩트라는 것이다. 그리고 이것으로 만들어지는 사상을 fpqc 위상이라고 하자.
다음 정리를 보자.
[math(f:A\to B)]가 두 환 사이의 충실 평탄 사상일 때
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0 \rightarrow A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{1 \otimes b - b \otimes 1} B\otimes_AB \xrightarrow{1\otimes b \otimes b'-b \otimes 1 \otimes b' + b \otimes b' \otimes 1}B\otimes_AB\otimes_AB \longrightarrow \cdots \end{aligned})] |
이것의 증명은 그냥 아무데나 찾아보면 있으므로 잘 찾아보길 바란다... 이것은 단순한 주장으로 생각한다면 훨씬 더 직관적으로 와닿을 것이다.
이제 어떤 장소 [math(X_{\tau})]가 있을 때 여기 위에 층을 다음과 같이 정의하자. 그 장소의 덮개들로 만들어지는 범주를 [math(\mathcal{C})]라고 하자. 그렇다면 함자 [math(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\longrightarrow \mathrm{Ab})]가 층이란 것은 그 장소의 모든 덮개 [math(U_{\alpha}\to X)]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0 \rightarrow \mathscr{F}(X) \longrightarrow \prod_\alpha \mathscr{F}(U_\alpha) \longrightarrow \prod_{\alpha,~ \beta} \mathscr{F}(U_\alpha \times _XU_\beta) \end{aligned})] |
이렇게 정의한다면 자동으로 코호몰로지도 정의할 수 있게 된다. 어차피 저 덮개들은 모두 하나하나가 스킴이니까 그 장소에 대한 토포스를 [math( \mathrm{Sh}(X_{\tau}))]라고 하면 ([math(\tau)]는 장소라고 하자.) 이는 아벨 위상이 되고, 충분한 전사이다. 어쨌든 큰 자리스키 위상의 전체 부분범주니까. 따라서 전체 단면 함자의 도출된 함자를 생각할 수 있고, 비슷하게 체흐 코호몰로지도 정의할 수 있다. 이 때, 위의 정리와 도출된 함자-체흐 스펙트럼 열로 다음을 알 수 있다.
자리스키 위상보단 괜찮고 fppf 위상보단 조잡한 장소 [math(X_{\tau})]에 대해서
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^i_{Zar}(X,\mathscr{F})=H^i_{\tau}(X,\mathscr{F}) \end{aligned})] |
여기에서 준연접층은 지점의 함자로 자연스럽게 [math(\mathrm{Sch}^{\mathrm{op}}_{X}\longrightarrow \mathrm{Ab})]로 확장할 수 있고, fpqc 위상에서 층이 된다는 정리가 있다. (증명은 코호몰로지의 같음을 증명할 때와 비슷하다.)
아, fppf란 저저기 fpqc 위상의 정의에서 충실 평탄하고 준컴팩트를 준유한,평탄하고 유한 표현으로 조건을 바꾸면 된다. 이는 직관적으로 기하학적으로 잘 맞게 U가 X 위의 그냥 유한 채 확장이란 직관을 가지고 있다. 이렇게 바꾸는 이유는, fpqc는 너무 커서 층화가 없을 수도 있기 때문에.
fpqc 위상이란 "기하학으로써 당연히 가져야 하는 소양"에 가깝다. 기하학이라면 당연히 잘 붙어야 하며, 교집합이 잘 되어야 하고, 어쨌든 우리가 잘 아는 여러가지 집합론적인 것들이 잘 되어야 할 것이다. fpqc란 바로 그런 조건을 말한다.
이제 비분지 사상을 설명하자, 두 국소환 사이 사상 [math(f:A\to B)]에 대해서 이것이 비분지라는 것은 극대 이데알을 다른 극대 이데알로 옮기고, 이걸로 유도되는
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A/\mathfrak{m}_{A}\to B/\mathfrak{m}_B \end{aligned})] |
이것에 대해선 유용한 기준이 있는데, 바로 상대적 미분인 [math(\Omega^1_{Y/X})]가 0이라는 것이다.[1] 그리고 이것으로 [math(f:Y\to X)]가 비분지라는 것은 다음과 같은 직교
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Y\to Y\times_{X}Y \end{aligned})] |
비분지 사상은 보면 알겠지만, "분리가능한 확장"을 뜻한다. 바로 갈루아 확장에서 필요한 그것이다. 정규 확장도 있어야 할 것 같지만, 우리에겐 이것만 필요하다. 왜냐하면 분리 가능 닫힌 체를 생각하듯 생각할 거니까
이제 [math(f:Y\to X)]가 에탈이란 것을 평탄이고 비분지인 걸로 정의하자. 그리고 [math(f_{\alpha}:U_{\alpha}\to X)]가 에탈 덮개이란 것은 각각 합집합이 X고 각각이 모두 에탈일 때를 뜻한다. 그렇다면 우린 에탈 코호몰로지를 정의할 수 있다.
한 가지 에탈 코호몰로지의 예를 들어보자. [math(\mathrm{Spec}\,A\to \mathrm{Spec}\,K)]가 에탈 사상일 때, A는 K의 유한 확장 가능한 체의 유한 직접적인 곱여야 한다. 이를 생각하면 [math( \mathrm{Spec}\,K)] 위의 층은 K 위의 벡터 공간이고 에탈이란 말이 붙으면 여기에다가 갈루아 작용이 더 있어야 하니 갈루아 코호몰로지의 정의를 그대로 따라하면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^i_{et}(\mathrm{Spec}\,K,V)=H^i(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),V) \end{aligned})] |
또 한 가지 예를 들면, fpqc 위상을 할 때 얻은 걸로 바로
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
H^1_{et}(X,\mathcal{O}_X)=H^1_{Zar}(X,\mathcal{O}_X)=\mathrm{Pic}(X) \end{aligned})] |
3.1. 계산
에탈 코호몰로지는 본질적으로 갈루아 코호몰로지를 fpqc 위상으로 붙힌 것이고, 따라서 갈루아 코호몰로지를 먼저 계산해야 에탈 코호몰로지를 계산할 수 있다.첫째 코호몰로지는 여러가지 직관이 있는데, 그 중에서 가장 쉽게 만들 수 있는 직관이 어떤 군으로 작용하는 류를 분류할 때 그 류들의 자기동형사상들의 군이 모두 똑같으면 첫 코호몰로지를 쓸 수 있다는 것이다.[2] 예를 들면 스콜렘-뇌터 정리(Skolem-Noether theorem)에 의하면 K가 체면
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
\mathrm{Aut}_{K-\mathrm{algebra}}(M_{d}(K))=\mathrm{PGL}_{d}(K) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
A\otimes_{K}K^{\mathrm{sep}}=M_{d}(K^{\mathrm{sep}}) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
M_{m}(A_1)=M_{n}(A_2) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(K)\longrightarrow H^1(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}}) \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
0\to (K^{\mathrm{sep}})^*\longrightarrow \mathrm{GL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\longrightarrow\mathrm{PGL}_{d}(K^{\mathrm{sep}})\to 0 \end{aligned})] |
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(K)\longrightarrow H^2(\mathrm{Gal}(K^{\mathrm{sep}}/K),(K^{\mathrm{sep}})^*) \end{aligned})] |
비슷하게, X가 준사영일 때, 다음을 얻을 수 있다.
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[math(\displaystyle \begin{aligned}
Br(X)\longrightarrow H^2_{\mathrm{\acute e t}}(X,\mathcal{O}_X) \end{aligned})] |
이제 티센의 정리를 설명할 텐데, 먼저 다음을 정의하자.
체 K가 [math(C_r)]이라는 것은 모든 n과 [math(0<d^r<n)]에 대해서 [math(f\in k[x_1,\cdots,x_n])]의 동형 차수가 d일 때 적당한 [math((\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\in K^n)]가 있어서 [math(f(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=0)]인 것이다.
먼저 K가 대수적으로 닫힌 체일 때는 이것이 [math(C_1)]라는 것이 그냥 약한 영점 정리(weak nullstallensatz)다. 그리고 이것보다 더 강력한 정리가 성립하는데, 바로 티센의 정리이라는 것이다.
[1]
이것은 Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra에도 실려있는, 특성이 0일 때 모든 체의 확장이 분리 가능이라는 것의 증명을 그대로 따라한다.
[2]
이는 본질적으로 Cech nerve에서 온다.
[3]
적분이고 분리되어있고, 차원이 1인 곡선.
[4]
일반점에서 국소환.