1. 개요
전염병의 확산 추이를 시뮬레이션하기 위해 고안된 수학적 모델이다. 한 집단의 개체들을 S, I, R 3개의 그룹으로 나누어 그룹간 개체들의 이동량을 시뮬레이션하여 전염병의 확산 추이를 살펴보기 때문에 이런 이름이 붙었으며, 여기서 S는 Susceptible(감염 대상군), I는 Infectious(감염군), R은 Recovered(회복군)를 의미한다.2. 상세
일반적으로, 대상이 되는 집단의 개체 수를 [math(N)]으로 보며, 독립변수는 당연하게도 시간 [math(t)]이다. 즉, 각각의 종속 변수가 시간에 따른 함수 [math(S(t))], [math(I(t))], [math(R(t))]로 나타내어지며, 이들의 합은 [math(N)]인 것. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.[math(S(t)+I(t)+R(t) = N)]
직관적으로 생각하기에는 이렇게 인구 수로 변수 설정을 하고 모델링에 들어가는 것이 자연스럽지만, 이후에 이어질 계산에 있어서 인구 수보다는 인구 비례를 쓰는 것이 더 간단한 경우가 많기 때문에 SIR 모델에선 인구 비례를 사용하는 경우도 많다. 따라서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[math(\begin{cases} s(t) = \frac{S(t)}{N} \\ i(t) = \frac{I(t)}{N} \\ r(t) = \frac{R(t)}{N} \\ s+i+r=1 \end{cases})]
SIR 모형은 다음과 같은 가정에 기반한다.
1. 출생과 이민을 무시한다. 즉, S 그룹에는 아무도 추가되지 않으며, 이 숫자가 변하는 유일한 방법은 I로 옮겨가는 것, 즉, 감염되는 것이다.
2. [math(S(t))]의 변화율은 감염자와 감염대상자 사이의 접촉량에 따라 달라진다. 예컨대 감염자와 감염대상의 평균 접촉시간이 3시간이면, 감염률은 1/3이다.
3. 감염자들은 감염 기간에 따라 고정된 부분만큼 회복된다. 예컨대 감염기간이 4일이면, 매일 현재 감염인구의 25%가 회복되는 것으로 본다.