1. 개요
Largest valid googologism Googology Wiki 설명 페이지큰 수들 중에서도 가장 큰 수라고 여겨지는 수는 유효한 가장 큰 수라는 타이틀이 붙는다.
2. 상세
기존의 정의에다가 추가 개념 없이 숫자만 늘리거나 함수를 여러번 합성했을 때의 경우는 이 타이틀을 얻을 수 없다. 이러한 방법으로 만들어진 수는 샐러드 수(Salad number)라고 불리며 큰 수 연구자들이 가장 큰 수를 얘기할 때에는 아예 무시된다. 라요 수를 예로 들면, 라요 함수가 처음 만들어지고 누군가가 라요 함수를 그대로 이용해서 라요 함수 자체를 재귀한 [math(\text{Rayo}(\text{Rayo}(10^{100})))] 을 만들어 새로운 가장 큰 수를 만들었다고 주장한다면 그 수를 가장 큰 수로 인정하지 않고 원작자가 정의한 [math(\text{Rayo}(10^{100}))]를 가장 큰 수로 인정하는 것이다. 샐러드 수까지 인정해버리면 '유효한 가장 큰 수'라는 타이틀이 의미가 없어지고, 거의 무한대로 늘어나기 때문에[1] 제외하는 게 당연하다. 물론 이는 '유효한' 가장 큰 수를 거론할 때에만 해당이고 단순히 큰 수를 만들고 싶을 경우는 얼마든지 만들 수 있다. 실제로 큰 수를 다루는 Googology 위키의 큰 수 목록에 있는 수들 중 많은 수들이 샐러드 수이다.타이틀이 타이틀인 만큼 많은 큰 수 학자들이 관심을 기울인 부분이기 때문에 유효한 가장 큰 수는 꽤 긴 역사를 거쳐 왔다. 그레이엄 수처럼 수학적 증명에서 사용된 수도 있지만, 수학적 의미만 갖거나 그마저도 내다버리고 만드는 것은 대부분 수학적 증명에 쓰인 것보다 크기가 크다. 다만 테트레이션 이상의 연산이 본격적으로 연구된 것은 20세기 이후의 일이다.
2.1. 모우저
이 수가 처음 정의된 년도는 정확히는 모를지언정 스테인하우스-모저 기수법이 처음 정의된 년도는 1950년으로 커누스 윗화살표 표기법이 처음 정의된 1976년보다 훨씬 빠르고 리오 모저와 후고 스테인하우스의 각각 1970년, 1972년에 사망한 점을 고려하면 그레이엄 수가 처음 정의된 1977년보다 빠르다는 것은 확실해 보인다.
2.2. 그레이엄 수
[math(G(64))]
1977년 처음 정의된 이후로 2002년까지 무려 25년간 유효한 가장 큰 수였다. 사실 모우저를 단순히 재귀하는 방법만으로도 만들어 낼 수 있는 크기[2]이고 커누스 윗화살표 표기법의 성장률도 스테인하우스-모저 기수법과 비교해보면 상대적으로 월등하지 않지만[3] 수학적 증명에서 사용된 수로서의 의미가 크다.
2.3. 콘웨이의 테트라트리
[math(3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3)]2002년 존 호튼 콘웨이가 자신의 화살표 표기법을 이용해 정의한 수.
그레이엄 수보다 크지만 G(G(27))보다도 작아서 G(64)를 1회만 재귀한 G(G(64))만 해도 이보다 커지므로 차원이 다를 정도로 큰 것은 아니다. 여기서 중요한 것은 이 수 자체의 크기가 아니라 콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 사용했다는 점이다.
2.4. TREE(3)
2002년 그레이엄 수보다 훨씬 더 큰 수로 알려진 수.
2.5. 피쉬 수 4
[math(F^{63}_4(3))]
2002년 일본의 2ch 큰 수 스레에서 탄생한 계산 불가능한 큰 수. 바쁜 비버의 존재가 알려지고, 피쉬 수 3에 튜링 머신을 접목시켜 매우 빠르게 성장한다.
2.6. 라요 수
[math(\text{Rayo}(10^{100}))]
2007년에 1차 집합론을 이용해 정의된 수. 이는 바쁜 비버 함수보다 훨씬 빠르게 성장한다.
2.7. 피쉬 수 7
[math(F^{63}_7(10^{100}))]
2013년에 라요 함수를 튜링 머신의 오라클과 같이 확장하여 피쉬 수 6을 접목시킨 강력한 함수를 이용해 정의된 7번째 피쉬 수이다.
2.8. 거대수 정원수
[math(f^{10}(10\uparrow^{10}10))][4]
2019년 12월 일본의 P進大好きbot이라는 유저가 정의한 수이다.( Large Number Garden Number)[5] 임의의 고차 집합론에서 정의되는 수보다 더 크다.
3. 오류수
한때 유효한 가장 큰 수로 받아들여졌으나 후에 오류가 밝혀진 수들이다.3.1. 빅풋
BIG FOOT Googology Wiki 페이지[math(\text{FOOT}^{10}(10^{100}))][6]
빅풋은 2014년에 Googology Wiki의 유저 LittlePeng9이 정의한 큰 수로, 이전의 가장 큰 수였던 라요 수에 쓰인 Rayo(n) 함수의 정의에 쓰인 first-order set theory(1차 집합론)를 확장하여 새로운 First-Order Oodle Theory를 이용한 'FOOT 언어에서 최대 n개의 기호를 이용하여 정의될 수 있는 가장 큰 자연수'로 정의되는 FOOT(n) 함수를 이용해 정의됐다.
라요 수와 비슷한 개념이지만 독자적인 새로운 정의를 만들어 사용했기 때문에 새로운 가장 큰 수로 인정받을 수 있었다. 성장률도 기존의 라요수를 수없이 확장한 고차 라요 함수로 만든 피쉬 수 7보다 월등하다.
3.1.1. 오류
이 first-order oodle theory에는 멱집합과 외연 공리 이외의 공리에 대한 구체적인 설명이 없어 결과적으로 이 집합 이론은 모순을 일으키고 잘못 정의되었음이 증명된다.3.2. 리틀 바이겟돈 & 사스콰치
2017년 Emlightened라는 유저가 리틀 바이겟돈( Little Bigeddon)이라는 수를 정의했다.라요 수와 빅풋에 쓰인 집합론 언어 [math(\mathcal L = \{\in\})]에 삼진 진실 술어(trinary truth predicate) [math(T)]와 랭크(Rank) 변수를 추가해 확장한 언어 [math(\mathcal L = \{\in,T\})]를 이용하여 '[math(\mathcal L=\{\in,T\})]에서 정량자 랭크 [math(\leq 12\uparrow\uparrow 12)]인 식 [math(\exists\lnot a(\varphi(a))\land\varphi(k))]에서 단항 공식 [math(\varphi)]가 존재하는 가장 큰 [math(k)]'로 정의했다. 이 수는 일반적으로 빅풋보다 큰 수로 여겨져서 리틀 바이겟돈이 빅풋의 '유효한 가장 큰 수' 타이틀을 뺏었다.
그리고 집합론 언어를 다르게 확장하여 '[math(Q(a,b) \leftrightarrow R(a)=b)]인 언어 [math(\{\bar\in,Q\})]에서 정량자 랭크 [math(\leq 12\uparrow\uparrow 12)]인 식 [math(\exists ! a (\phi(a)) \wedge \phi(k))]에서 단항 공식 [math(\phi)]가 존재하는 가장 큰 [math(k)]'로 정의되는 사스콰치(빅 바이겟돈)( Sasquatch)를 만들기도 했다.
3.2.1. 오류
리틀 바이겟돈은 P進大好きbot이 수많은 오류가 있음을 증명했는데, 대표적으로 [math(T)]의 정의에서, [math(\forall e \exists ! f(d = \langle e, f \rangle))]를 만족시키는 [math(d \in c)]가 존재하지 않는다. 즉, [math(T)]는 항상 거짓이 되므로 잘 정의 될 수 없다.마찬가지로 P進大好きbot이 사스콰치 역시 잘못 정의되었음을 밝혔다. 왜냐하면 [math(R)]은 조건 [math((\bar\in,R,F)\vDash t\text{ is an ordinal})]을 상정한 후 정의 되는데, 이는 순환 논법이기 때문이다.
3.3. 오블리비언 & 어터 오블리비언
2016년 미국의 아마추어 수학자이자 큰 수 학자인 조너선 바워스(Jonathan Bowers)[7]가 이론상으로 오블리비언( Oblivion)을 만들었다."라요 수와 빅풋보다 큰 수를 만들 수는 없을까?"라는 단순한 생각에서 시작해 여러가지 방법을 써보다가 하나의 이론적 수학 시스템을 생각해낸다. 'n개의 기호만을 이용해 설명될 수 있는 완전하고 잘 정의된 수학의 시스템'으로 정의되는 K(n) 시스템을 생각해내는데, 오블리비언은 'K({10,10(100)2}) 시스템에서 {X,100,3} & 10개의 기호만을 이용하여 유일하게 정의될 수 있는 가장 큰 유한한 수'로 정의된다. 그는 라요 함수의 집합론과 FOOT 함수가 K(10000) 시스템일 것으로 예상했다.
바워스는 빅풋 [math(\text{FOOT}^{10}(10^{100}))]에서 [math(\text{FOOT}^{10})]의 '10'을 주목했는데, 이 10이 K(10000) 시스템에서 시작해 최대값 MK(10000)을 찾고 K(MK(10000)) 시스템을 이용하고 같은 방법으로 이것을 10번 반복한다는 의미일 경우 오블리비언이 빅풋보다 작은 수가 되기 때문에 이 경우를 생각해 정의를 확장해서 K(m-1)(n) (m-1)-시스템들을 만들 수 있는 Km(n) m-시스템이라는 것을 생각해내고 '오블리비언이 하나의 기호로 표현될 수 있는, K(오블리비언) 시스템이 포함된 K2(오블리비언) 2-시스템이 포함된 K3(오블리비언) 3-시스템이 포함된 K4(오블리비언) 4-시스템이 포함된 ... 이 포함된 K오블리비언(오블리비언) 오블리비언-시스템에서 오블리비언개의 기호만을 이용하여 유일하게 정의될 수 있는 유한한 가장 큰 수'로 정의되는 어터 오블리비언( Utter Oblivion)을 만든다.
나중에 그는 10이 단순히 함수가 여러번 합성됐다는 의미인 함수 지수였다는 것을 확인했고 이 경우에는 K(n) 시스템이 정말 존재하는 개념이라면 K(n) 시스템에 10000은 물론 BEAF 배열 안의 숫자의 개수 마저 그레이엄 수를 훨씬 뛰어넘는 {X,100,3} & 10과 {10,10(100)2}가 쓰인 오블리비언은 빅풋과도 비교할 수 없는 엄청나게 큰 수가 된다.
3.3.1. 오류
위의 오류수보다도 오류가 더 많다. 증명이랄 것도 없이 당연하지만, 정의에 사용된 K(n) 시스템이 이론상으로만 설명됐을 뿐 무엇인지 제대로 나와있지 않는 데다 실제로 존재하는지 증명되지 않고, BEAF의 상위 정의 마저 오류가 있어서, 제대로 정의되지 않는다. 그럼에도 불구하고 거대수 정원수보다 오블리비언, 어터 오블리비언이 더 크다고 표현하는 잘못된 유튜브 영상들이 많다.애초에 오블리비언의 정의에 있는 기호로 표현 가능한 잘 정의된 시스템에서 기호가 무엇인지와 시스템이 무엇인지도 정의되어 있지 않기 때문에 의도된 값으로는 정의될 수 없는 시스템이다. 만약에 진짜 수학 그 자체를 기호로 표현한다 하면 그 기호가 무엇인지부터 정해야 하는데 이게 합의되어 있지 않아서 다른 오류수와는 다르게 제대로 정의하는 것이 불가능하다. 설령 정의한다 하더라도 계산 가능한 함수 범위 수준의 값 밖에 나오지 않을 수도 있다. 진짜 제대로 정의하고 싶다면 BEAF의 잘못된 상위 정의부터 정정해야된다.
[1]
다만 TREE(3)부터는 재귀만 해서는 다음 단계로 넘어가는 것부터가 이미 택도 없다.
[2]
모우저를 63번 재귀하면 그레이엄수 보다도 더 큰 수가 나온다. 후술할 콘웨이의 테트라트리도 마찬가지이다.
[3]
둘 다
fgh 기준 [math(f_{\omega}(n))] 정도의 성장률을 갖는다. 다만 커누스 윗화살표 표기법은 하이퍼 연산의 표기법을 정립한 것에 의미를 둘 수 있다.
[4]
[math(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(10\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow10)))))))))))]
[5]
일본 원어명은 巨大數庭園數,
신자체로는 巨大数庭園数로 표기되어 있다.
[6]
= FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(FOOT(10100))))))))))
[7]
큰 수 표기법인
BEAF를 만든 사람이기도 하다.