최근 수정 시각 : 2022-05-01 15:01:23

오일러 피 함수

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1. 개요

오일러 피 함수(Euler phi function) 특수함수의 하나로, 정의는 다음과 같다.


[math(\displaystyle \varphi(n) \equiv |\{m:1\le m\le n, \gcd(m, n)=1\}|)] ([math(n \in \mathbb{N})])


이름대로 레온하르트 오일러가 정의한 함수다. 위에서 [math(\gcd)]는 최대공약수 이고, 따라서 [math(\phi(n))] 은 [math(n)]이하의 [math(n)]과 서로소인 자연수의 개수이다.

2. 성질


이 함수는 다양한 성질들을 지니고 있다. 첫째로, [math(\varphi)]는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 즉, 두 자연수 [math(a, b)]에 대해, [math(\gcd(a, b)=1)]라면

[math(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b))]

이다. 증명은 [math((a, b) = 1)]일 때 [math((m, ab) = 1\iff (m, a) = (m, b) = 1)] 임을 이용하면 간단히 할 수 있다. 하지만 완전 곱셈적 함수(completely multiplicative function)는 아닌데, 즉 모든 자연수 [math(a, b)]에 대해 [math(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b))]는 아니다. 간단한 반례로 [math(\varphi(2\cdot2)=2\neq1\cdot1=\varphi(2)\varphi(2))]가 있다.

또, 임의의 소수 [math(p)]에 대하여, [math(\varphi(p^n))]은 [math(1\leq a\leq p^n)]인 [math(a)]중 [math(p^n)]과 서로소인 수의 개수이며, [math(p^n)]는 [math(p)]만을 소인수로 가지기 때문에 자동적으로

[math(\displaystyle \varphi(p^n)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-\frac{1}{p}\right))]가 된다.

이 두 성질을 조합하면, 오일러 피 함수를 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다. [math(\displaystyle n=\prod_{i=1}^{r}p_i^{k_i})] 로 소인수분해 될 때,
[math(\displaystyle \varphi(n)=\varphi\left(\prod_{i=1}^n p_{i}^{k_{i}}\right)=\prod_{i=1}^n \varphi(p_{i}^{k_{i}})=\prod_{i=1}^n \left[p_{i}^{k_{i}}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)\right])]

즉, [math(\displaystyle \varphi(n)= n \prod_{p\mid n}\left(1-\frac {1}{p}\right))](단, [math(p)]는 소수) 이다.

한 가지 흥미로운 공식은
[math(\displaystyle n = \sum_{d\mid n}\varphi\left(d\right))]

이라는 것이다. 증명은 [math(\{1, 2, \cdots, n\})] 을 [math(S_k = \{1\le m\le n:\gcd(m, n)=k\})]로 분할하여 할 수 있다. [math(\gcd(m, n)=k\iff \gcd\left(\frac{m}{k}, \frac{n}{k}\right) = 1)] 이고, [math(1\le m\le n\iff \frac{m}{k}\le\frac{n}{k})]이므로, [math(|S_k| = \varphi\left(\frac{n}{k}\right))]이다. 따라서,

[math(\displaystyle n = \sum_{k\mid n}|S_k| = \sum_{k\mid n}\varphi\left(\frac{n}{k}\right) = \sum_{d\mid n}\varphi(d))] 이다.

여기에 뫼비우스 반전 공식(Möbius inversion formula)을 적용하면, 뫼비우스 함수 [math(\mu)][1]를 포함한 다음 공식이 성립한다.

[math(\displaystyle\varphi(n)=\sum_{d\mid n}d\mu\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d\mid n}\mu\left(d\right)\frac{n}{d})]



[1] 주어진 수가 소수의 거듭제곱을 인수로 가지고 있는지를 판정하는 함수다. 거듭제곱을 인수로 가지고 있다면 0, 거듭제곱이 없다면 소인수의 개수, 즉 소인수 계량 함수를 따져서 [math(\mu(n)=\left(-1\right)^{\omega(n)})]가 된다.